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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

égaux qui seraient placés aux quatre coins de la pyramide. Ce dernier théorème est dû à Roberval.

4. Supposons, en second lieu, que le corps ou point sur lequel agissent les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ ne soit pas tout à fait libre, mais qu’il soit contraint de se mouvoir sur une surface ou sur une ligne donnée ; on aura alors, entre les coordonnées $x,\,y,\,z,$ une ou deux équations de condition, qui ne seront autre chose que les équations mêmes de la surface ou de la ligne dont il s’agit.

Soit donc

$\mathrm {L} =0$

l’équation de la surface sur laquelle le corps ne peut que glisser ; on ajoutera à la somme des moments des forces $\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz$ le terme $\lambda d\mathrm {L}$ (sect. IV, art. 3), et l’on aura, pour l’équation générale de l’équilibre,

$\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz+\lambda d\mathrm {L} =0,$

$\lambda$ étant une quantité indéterminée.

Or, $\mathrm {L}$ étant une fonction connue de $x,y,z,$ on aura, par la différentiation,

$d\mathrm {L} ={\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z}}dz\,;$

donc, substituant et égalant ensuite séparément à zéro la somme des termes multipliés par chacune des différences $dx,\,dy,\,dz,$ on aura ces trois équations particulières de l’équilibre

${\begin{aligned}\mathrm {X} +&\lambda {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial x}}=0,\\\mathrm {Y} +&\lambda {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y}}=0,\\\mathrm {Z} +&\lambda {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z}}=0\,;\end{aligned}}$

d’où, chassant l’indéterminée $\lambda ,$ on aura ces deux-ci

$\mathrm {Y} {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial x}}-\mathrm {X} {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y}}=0,\quad \mathrm {Z} {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial x}}-\mathrm {X} {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z}}=0,$