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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

aux mêmes axes fixes dans l’espace. On aura évidemment

${\begin{aligned}p=&{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}},\\q=&{\sqrt {(x-f)^{2}+(y-g)^{2}+(z-h)^{2}}},\\r=&{\sqrt {(x-l)^{2}+(y-m)^{2}+(z-n)^{2}}},\end{aligned}}$

 

et la quantité $\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots$ se transformera en celle-ci

$\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz,$

dans laquelle on aura

${\begin{alignedat}{5}&\mathrm {X} &=&{\frac {x-a}{p}}\mathrm {P} &+&{\frac {x-f}{q}}\mathrm {Q} &+&{\frac {x-\ l}{r}}\mathrm {R} &+&\ldots ,\\&\mathrm {Y} &=&{\frac {y-b}{p}}\mathrm {P} &+&{\frac {y-g}{q}}\mathrm {Q} &+&{\frac {y-m}{r}}\mathrm {R} &+&\ldots ,\\&\mathrm {Z} &=&{\frac {z-c}{p}}\mathrm {P} &+&{\frac {z-h}{q}}\mathrm {Q} &+&{\frac {z-\ n}{r}}\mathrm {R} &+&\ldots .\end{alignedat}}$

Il n’est pas inutile de remarquer que, dans ces expressions, les quantités ${\frac {x-a}{p}},\,{\frac {y-b}{p}},\,{\frac {z-c}{p}}$ sont égales aux cosinus des angles que la ligne $p,$ c’est-à-dire la direction de la force $\mathrm {P} ,$ fait avec les axes des $x,y,z\,;$ que, de même, ${\frac {x-f}{q}},\,{\frac {y-g}{q}},\,{\frac {z-h}{q}}$ sont les cosinus des angles que la direction de la force $\mathrm {Q}$ fait avec les mêmes axes ; et ainsi de suite (sect. II, art. 7).

§ I. — De l’équilibre d’un corps ou point tiré par plusieurs forces.

2. Cela posé, supposons en premier lieu que le corps ou point auquel les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ sont appliquées soit entièrement libre ; il n’y aura alors aucune équation de condition entre les coordonnées $x,\,y,\,z,$ et la quantité $\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz$ devra être nulle indépendamment des valeurs de $dx,\,dy,$ $dz$ (sect. II, art. 10) ; ce qui donnera sur-le-champ ces trois équations particulières

$\mathrm {X} =0,\qquad \mathrm {Y} =0,\qquad \mathrm {Z} =0.$