Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/129

111

PREMIÈRE PARTIE. — SECTION IV.

Ajoutons à ces termes ceux qui proviennent de l’intégrale _SS$\delta \Pi d\mathrm {m} ,$ savoir, en substituant les valeurs de $\delta \Pi$ et $d\mathrm {m} ,$

$\left({\frac {\partial \Pi }{\partial x}}\delta x+{\frac {\partial \Pi }{\partial y}}\delta y+{\frac {\partial \Pi }{\partial z}}\delta z\right)\mathrm {U} dxdy,$

et remettons pour $\delta u$ sa valeur $\delta z-{\frac {\partial z}{\partial x}}\delta x-{\frac {\partial z}{\partial y}}\delta y$ (art. 33) ; l’équation générale de l’équilibre contiendra, sous le double signe _SS, les termes suivants, ordonnés par rapport aux variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$

$\left.{\begin{aligned}&\left\{\left[{\frac {\partial \Pi }{\partial x}}-\left({\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\right)\right]\mathrm {U} -\Psi {\frac {\partial z}{\partial x}}\right\}\delta x\\+&\left\{\left[{\frac {\partial \Pi }{\partial y}}-\left({\frac {\partial \lambda }{\partial y}}\right)\right]\mathrm {U} -\Psi {\frac {\partial z}{\partial y}}\right\}\delta y\\&+\left({\frac {\partial \Pi }{\partial z}}\mathrm {U} +\Psi \right)\delta z\end{aligned}}\right\}dxdy\,;$

d’où l’on tire les trois équations

${\begin{aligned}&\left[{\frac {\partial \Pi }{\partial x}}-\left({\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\right)\right]\mathrm {U} -\Psi {\frac {\partial z}{\partial x}}=0,\\&\left[{\frac {\partial \Pi }{\partial y}}-\left({\frac {\partial \lambda }{\partial y}}\right)\right]\mathrm {U} -\Psi {\frac {\partial z}{\partial y}}=0,\\&\qquad \qquad {\frac {\partial \Pi }{\partial z}}\mathrm {U} +\Psi =0.\end{aligned}}$

La dernière donne $\Psi =-\mathrm {U} {\frac {\partial \Pi }{\partial z}},$ et, cette valeur étant substituée dans les deux autres, on a, après avoir divisé par $\mathrm {U} ,$

${\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi }{\partial x}}&+{\frac {\partial \Pi }{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial x}}-\left({\frac {\partial \lambda }{\partial x}}\right)=0,\\{\frac {\partial \Pi }{\partial y}}&+{\frac {\partial \Pi }{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial y}}-\left({\frac {\partial \lambda }{\partial y}}\right)=0.\end{aligned}}$

La première donne $\lambda =\Pi +\operatorname {fonct.} y\,;$ la seconde donne $\lambda =\Pi +\operatorname {fonct.} x\,;$ donc on aura

$\lambda =\Pi +a,$

$a$ étant une constante. Substituant cette valeur dans l’équation géné-