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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION IV.

dans lequel

${\begin{aligned}\Xi =&\left({\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial x}}\right)-\left({\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial x}}\right)=0,\\\Upsilon =&\left({\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}\right)-\left({\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}\right)=0,\\\Psi =&{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z}}-\left({\frac {\partial \mathrm {U} '}{\partial x}}\right)-\left({\frac {\partial \mathrm {U} _{_{'}}}{\partial y}}\right)+\left({\frac {\partial ^{2}\mathrm {U} ''}{\partial x^{2}}}\right)+\left({\frac {\partial ^{2}\mathrm {U} '_{_{'}}}{\partial x\partial y}}\right)+\left({\frac {\partial ^{2}\mathrm {U} _{_{''}}}{\partial y^{2}}}\right)-\ldots ,\end{aligned}}$

en faisant pour abréger,

$\mathrm {U} '={\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z'}},\quad \mathrm {U} _{_{'}}={\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z_{_{'}}}},$

$\mathrm {U} ''={\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z''}},\quad \mathrm {U} '_{_{'}}={\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z'_{_{'}}}},\quad \mathrm {U} _{_{''}}={\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z_{_{''}}}},\quad \ldots ,$

et supposant que les différentielles partielles renfermées entre deux parenthèses représentent les valeurs complètes de ces différences, en y regardant $z$ comme fonction de $x,\,y.$

35. Ainsi, à cause de $\delta u=\delta z-{\frac {\partial z}{\partial x}}\delta x-{\frac {\partial z}{\partial y}}\delta y,$ les termes sous le double signe donneront simplement l’équation

$\Psi \left(\delta z-{\frac {\partial z}{\partial x}}\delta x-{\frac {\partial z}{\partial y}}\delta y\right)=0\,;$

d’où, en égalant séparément à zéro les coefficients de $\delta z,\,\delta x,\,\delta y,$ on n’aura que l’équation $\Psi =0,$ comme si l’on n’avait fait varier que la seule variable $z.$

On voit donc que, dans les questions de maximis et minimis relatives à des intégrales doubles, dans lesquelles une des trois variables est fonction des deux autres, il n’y a rigoureusement qu’une seule équation qu’on peut trouver directement, en ne faisant varier par $\delta$ que la seule variable qui est censée fonction des deux autres^[1] ; et cette

1. Il est évident a priori qu’il suffit de faire varier $z\,;$ car, quelles que soient deux surfaces infiniment voisines, on peut toujours passer de l’une à l’autre en donnant à $z$ un accroissement qui dépende d’une manière convenable des deux autres coordonnées $x$ et $y.$ Il pourra être plus ou moins commode de considérer celles-ci comme ayant ou n’ayant pas la même valeur aux points correspondants ; mais il est évidemment permis de faire l’une ou l’autre hypothèse. (J. Bertrand.)