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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

clair qu’on aura

${\begin{aligned}\left({\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial x}}\right)=&{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z'}}{\frac {\partial z'}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z_{_{'}}}}{\frac {\partial z_{_{'}}}{\partial x}}+\ldots ,\\\left({\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}\right)=&{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z'}}{\frac {\partial z'}{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z_{_{'}}}}{\frac {\partial z_{_{'}}}{\partial y}}+\ldots .\end{aligned}}$

Ainsi la variation complète de $\mathrm {U}$ se réduira à cette forme simple

${\begin{aligned}\delta \mathrm {U} =&\left({\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial x}}\right)\delta x+\left({\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}\right)\delta y+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z}}\delta u\\&+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z'}}{\frac {\partial \delta u}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z_{_{'}}}}{\frac {\partial \delta u}{\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z''}}{\frac {\partial ^{2}\delta u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z'_{_{'}}}}{\frac {\partial ^{2}\delta u}{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z_{_{''}}}}{\frac {\partial ^{2}\delta u}{\partial y^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}$

34. Donc, si l’on a une fonction intégrale double _SS$\mathrm {U} dxdy$ à rendre un maximum ou un minimum, on aura l’équation

$\delta$_SS$\mathrm {U} dxdy=$_SS$\delta (\mathrm {U} dxdy)=0.$

Or, en faisant tout varier, on a $\delta (\mathrm {U} dxdy)=\delta \mathrm {U} dxdy+\mathrm {U} \delta (dxdy),$ où il faut remarquer que, $dxdy$ représentant un rectangle qui est l’élément du plan des $xy,$ ce rectangle demeurera rectangle après les variations $\delta x,\,\delta y$ des coordonnées $x,y,$ dans la supposition adoptée que $\delta x$ ne dépende point de $y,$ ni $\delta y$ de $x\,;$ de sorte que la variation de $dxdy$ sera simplement $dy\delta dx+dx\delta dy\,;$ donc, comme

$\delta dx=d\delta x={\frac {d\delta x}{dx}}dx,\quad \delta dy=d\delta y={\frac {d\delta y}{dy}}dy,$

puisque $\delta x$ et $\delta y$ sont censés fonctions de $x$ seul et de $y$ seul, on aura

$\delta (\mathrm {U} dxdy)=\left(\delta \mathrm {U} +\mathrm {U} {\frac {d\delta x}{dx}}+\mathrm {U} {\frac {d\delta y}{dy}}\right)dxdy.$

Substituant la valeur de $\delta \mathrm {U}$ et faisant disparaître par des intégrations partielles les différentielles des variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta u,$ il restera sous le double signe _SS les termes

$(\Xi \delta x+\Upsilon \delta y+\Psi \delta u)dxdy,$