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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION IV.

32. Cela posé, on aura, en différentiant,

$\delta z'=\delta {\frac {\partial z}{\partial x}}={\frac {\delta \partial z}{\partial x}}-{\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {\delta \partial x}{\partial x}}.$

qui fera connaître $\delta z'.$ On trouvera de même, en faisant $dx=0,$

(6)

${\frac {\partial u}{\partial y}}=\delta z_{_{'}}-z'_{_{'}}\delta x-z_{_{''}}\delta y\,;$

ce sont les deux premières formules de Lagrange. Comme elles s’appliquent à une fonction quelconque, on peut y remplacer $z$ par $z'.$ La valeur de $u$ deviendra alors

$\delta z'-z''\delta x-z'_{_{'}}\delta y,$

et les formules (5) et (6) nous donneront

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\delta z'-z''\delta x-z'_{_{'}}\delta y\right)=&\delta z''-z'''\delta x-z''_{_{'}}\delta y,\\{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\delta z'-z''\delta x-z'_{_{'}}\delta y\right)=&\delta z'_{_{'}}\ -z''_{_{'}}\delta x\,-z'_{_{''}}\delta y.\end{aligned}}$

On peut se servir encore des équations (5) et (6) pour simplifier les formules précédentes, et l’on trouvera alors

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\ \ =&\delta z''-z'''\delta x-z''_{_{'}}\delta y,\\{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}=&\delta z'_{_{'}}-z''_{_{'}}\delta x-z'_{_{''}}\delta y.\end{aligned}}$

À ces relations on peut évidemment ajouter la suivante

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=\delta z_{_{''}}-z'_{_{''}}\delta x-z'_{_{'''}}\delta y,$

qui complète l’ensemble de celles que Lagrange démontre dans l’hypothèse particulière où il s’est placé et par l’emploi de différentiations qui sont légitimes, mais ne sont peut-être pas suffisamment expliquées.

L’affirmation de Lagrange, « nous verrons par la suite que cette supposition a toute la généralité que l’on peut désirer », paraît se rapporter à une autre partie du calcul, donnée à l’article 34, celle qui est relative à la variation de l’élément superficiel $dxdy.$ Dans le cas où $\delta x$ dépend de la seule variable $x$ et $\delta y$ de la seule variable $y,$ la variation du rectangle $dxdy$ est en effet très facile à calculer ; car ce rectangle se transforme en un rectangle de côtés $dx+\delta dx,\ dy+\delta dy,$ et, par conséquent, sa variation s’obtient immédiatement et est égale à

$dx\delta dy+dy\delta dx=dxdy\left({\frac {\delta dx}{dx}}+{\frac {\delta dy}{dy}}\right).$

Le calcul serait moins simple si $\delta x,\delta y$ dépendaient à la fois des deux variables $x$ et $y.$ Mais ce calcul est complètement développé pour le cas de trois variables aux articles 12, 13 et 14 de la Section VII, auxquels Lagrange a eu sans doute l’intention de renvoyer le lecteur. (G. D.)