et la difficulté se réduira à trouver les valeurs des variations en faisant varier à la fois les éléments dans les différences partielles.
Nous pouvons supposer, pour rendre le calcul plus simple, que la variation est une fonction de indépendante de et la variation \delta y une fonction de indépendante de Nous verrons par la suite que cette supposition a toute la généralité que l’on peut désirer[1].
- ↑ Il y a ici un point qui appelle quelques explications. Dans le passage d’une surface à la surface infiniment voisine, on peut, à coup sûr, établir la correspondance de telle manière que aient, en chaque point de la surface primitive, telles valeurs que l’on voudra. S’il s’agit d’étudier un problème de maximum et de minimum, il n’y a donc aucun inconvénient, même pour les conditions aux limites, comme on s’en assurera aisément, à supposer que ne dépende que de et de Mais plus loin (sect. V, art. 44) Lagrange applique les formules des articles 32 à 34, établies dans cette hypothèse, au cas où définissent un déplacement virtuel quelconque et sont, par conséquent, des fonctions de et de tout à fait arbitraires. Il ne sera donc pas inutile de rétablir le calcul dans l’hypothèse où sont quelconques.
Posons
(1) on aura
(2) Écrivons l’équation aux différentielles totales
et différentions-la par Nous aurons
(3) Ajoutons les équations (2) et (3) et remarquons que l’on peut intervertir l’ordre des caractéristiques ce qui fait disparaître les termes en Il viendra
(4) Dans cette équation, peuvent prendre toutes les valeurs possibles. Supposons d’abord
on aura
et, par conséquent, l’équation (4) nous donnera la formule
(5)
