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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

laquelle l’élément $d\mathrm {m}$ résiste à l’action des forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ qui agissent sur le système.

29. Nous avons supposé, pour plus de simplicité, qu’il n’y avait point d’autre équation de condition ; mais, s’il y avait de plus l’équation $\mathrm {M} =0,$ $\mathrm {M}$ étantune fonction de $x,\,y,\,z,\,y',\,y'',\ldots ,z',z'',\ldots ,$ il faudrait ajouter au terme $\lambda \delta \mathrm {L}$ sous le signe, dans l’équation de l’équilibre, le terme $\mu \delta \mathrm {M} ,$ ou plutôt, pour l’homogénéité, le terme $\mu \delta \mathrm {M} dx,$ ce qui donnerait à ajouter aux valeurs de $\Xi ,\,\Upsilon ,\,\Psi$ de l’article 25 les quantités respectives

$\mu {\frac {d\mathrm {M} }{dx}},$

${\begin{aligned}\mu {\frac {d\mathrm {M} }{dy}}&-{\frac {d}{dx}}\left(\mu {\frac {d\mathrm {M} }{dy'}}\right)+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left(\mu {\frac {d\mathrm {M} }{dy''}}\right)-\ldots ,\\\mu {\frac {d\mathrm {M} }{dz}}&-{\frac {d}{dx}}\left(\mu {\frac {d\mathrm {M} }{dz'}}\right)+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left(\mu {\frac {d\mathrm {M} }{dz''}}\right)-\ldots .\end{aligned}}$

Ainsi l’on aurait trois équations de la même forme que celles de l’article 26, lesquelles, par l’élimination des deux indéterminées $\lambda$ et $\mu ,$ se réduiraient à une seule ; mais, en y joignant l’équation de condition $\mathrm {M} =0,$ on aurait, comme auparavant, deux équations entre les trois variables $x,\,y,\,z.$

Ces trois équations donnent, comme dans l’article 28, l’équation

$d\Pi d\mathrm {m} +\Xi dx^{2}=0.$

Ici l’on a

$\Xi dx=-\mathrm {U} d\lambda +\mu d\mathrm {M} \,;$

mais l’équation $\mathrm {M} =0$ donne aussi $d\mathrm {M} =0\,;$ donc on aura simplement, comme dans l’article cité,

$\Xi dx=-\mathrm {U} d\lambda ,$

et de là on trouvera le même résultat

$\delta$_S$\Pi d\mathrm {m} +a\delta d\mathrm {m} =0.$

30. Donc, en général, le problème de l’équilibre d’un système de particules $d\mathrm {m}$ animées des forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots ,$ qui agissent suivant les