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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION IV.

Car, si l’on ajoute ensemble les trois équations trouvées ci-dessus, après avoir multiplié la première par $dx,$ la deuxième par $dy$ et la troisième par $dz,$ on aura, à cause de

${\frac {\partial \Pi }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \Pi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \Pi }{\partial z}}dz=d\Pi ,$

l’équation

$d\Pi d\mathrm {m} +\Xi dx^{2}=0\,;$

mais on a

$\Xi dx=\lambda d\mathrm {U} -d\lambda \mathrm {U} =-\mathrm {U} d\lambda ,$

et, comme $d\mathrm {m} =\mathrm {U} dx,$ on aura, en divisant par $d\mathrm {m} ,$ $d\Pi -d\lambda =0\,;$ d’où l’on tire

$\lambda =\Pi +a,$

$a$ étant une constante arbitraire.

Ainsi, à cause de $\delta \mathrm {L} =\delta d\mathrm {m} ,$ le terme $\lambda \delta \mathrm {L} ,$ dans l’équation de l’article 25, deviendra

$\Pi \delta d\mathrm {m} +a\delta d\mathrm {m} ,$

et puisque $\delta \Pi d\mathrm {m} +\Pi \delta d\mathrm {m} =\delta (\Pi d\mathrm {m} ),$ cette équation deviendra

_S$\delta (\Pi d\mathrm {m} )+a$_S$\delta d\mathrm {m} =0,$

c’est-à-dire

$\delta$_S$\Pi d\mathrm {m} +a\delta$_S$d\mathrm {m} =0\,;$

c’est l’équation nécessaire pour que la formule intégrale _S$\Pi d\mathrm {m}$ devienne un maximum ou un minimum parmi toutes celles où la formule _S$d\mathrm {m}$ aura une même valeur.

De cette manière on pourra, comme dans les questions de maximis et minimis, regarder une des variables comme constante, relativement aux variations par $\delta ,$ ce qui simplifie l’analyse ; mais la méthode générale a l’avantage de donner la valeur du coefficient $\lambda ,$ qui, par la théorie exposée dans la présente Section, exprimera^[1] la force avec

1. Voir, à ce sujet, l’article 6, Section IV, et la note relative à l’article 9, Section II. (J. Bertrand.)