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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

l’équation précédente devient

${\begin{aligned}&\left({\frac {\partial \Pi }{\partial x}}d\mathrm {m} +\Xi dx-\Upsilon dy-\Psi dz\right)\delta x\\&\quad +\left({\frac {\partial \Pi }{\partial y}}d\mathrm {m} +\Upsilon dx\right)\delta y+\left({\frac {\partial \Pi }{\partial z}}d\mathrm {m} +\Psi dx\right)\delta z=0,\end{aligned}}$

laquelle donne ces trois-ci :

${\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi }{\partial x}}d\mathrm {m} &+\Xi dx-\Upsilon dy-\Psi dz=0,\\{\frac {\partial \Pi }{\partial y}}d\mathrm {m} &+\Upsilon dx=0,\\{\frac {\partial \Pi }{\partial z}}d\mathrm {m} &+\Psi dx=0.\end{aligned}}$

Ainsi l’on a ici autant d’équations que de variables, ce qui paraît mettre une différence entre les problèmes de ce genre relatifs à la Mécanique et les problèmes de maximis et minimis.

27. Mais j’observe d’abord qu’à cause de l’indéterminée $\lambda ,$ les trois équations se réduisent à deux, par l’élimination de cette indéterminée ; et, quoiqu’en général les équations de condition remplacent toujours celles qui disparaissent par l’élimination des indéterminées, la condition introduite ici $\delta d\mathrm {m} =0,$ c’est-à-dire $d\mathrm {m}$ constant, ne peut pas fournir une équation particulière pour la solution du problème, parce que, suivant l’esprit du Calcul différentiel, il est toujours permis de prendre un élément quelconque pour constant, puisqu’il n’y $a,$ à proprement parler, que les rapports des différentielles entre elles, et non les différentielles elles-mêmes, qui entrent dans le calcul. Ainsi les trois équations seront réduites à deux et ne serviront qu’à déterminer la nature de la courbe, comme dans les problèmes de maximis et minimis.

28. J’observe ensuite qu’on peut aussi rappeler les problèmes de Statique dont il s’agit ici à de simples problèmes de maximis et minimis.