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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION IV.

en faisant ici abstraction des équations de condition relatives à des points déterminés.

Comme la masse de chaque particule $dm$ du système ne doit pas varier pendant que la position du système varie, il faudra supposer $\delta d\mathrm {m} =0$ et, par conséquent, $\delta \mathrm {L} =\delta d\mathrm {m}$^[1].

Lorsque le système est linéaire, on a, en général, $d\mathrm {m} =\mathrm {U} dx,$ $\mathrm {U}$ étant une fonction comme dans l’article 20 ; on aura donc

$\delta \mathrm {L} =\delta \mathrm {U} dx+\mathrm {U} \delta dx,$

et la formule _S$\lambda \delta \mathrm {L}$ donnera sous le signe les termes

$(\Xi \delta x+\Upsilon \delta u+\Psi \delta v)dx,$

dans lesquels on aura (art. 22)

${\begin{aligned}\Xi =&\lambda {\frac {d\mathrm {U} }{dx}}-{\frac {d}{dx}}(\lambda \mathrm {U} ),\\\Upsilon =&\lambda {\frac {d\mathrm {U} }{dy}}-{\frac {d}{dx}}\left(\lambda {\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y'}}\right)+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left(\lambda {\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y''}}\right)-\ldots ,\\\Psi =&\lambda {\frac {d\mathrm {U} }{dz}}-{\frac {d}{dx}}\left(\lambda {\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z'}}\right)+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left(\lambda {\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z''}}\right)-\ldots .\end{aligned}}$

26. Donc, s’il n’y a point d’autre condition, l’équation provenant des termes sous le signe _S sera

$\delta \Pi d\mathrm {m} +(\Xi \delta x+\Upsilon \delta u+\Psi \delta v)dx=0,$

qu’on devra vérifier séparément par rapport à chacune des variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z.$

Or, $\Pi$ étant une fonction de $x,\,y,\,z,$ on a

$\delta \Pi ={\frac {\partial \Pi }{\partial x}}\delta x+{\frac {\partial \Pi }{\partial y}}\delta y+{\frac {\partial \Pi }{\partial z}}\delta z\,;$

et comme

$\delta u=\delta y-{\frac {dy}{dx}}\delta x,\quad \delta v=\delta z-{\frac {dz}{dx}}\delta x,$

1. En d’autres termes, la première des conditions relatives à un point quelconque du système est que la masse de chaque particule demeure invariable dans tous les déplacements virtuels, (G. D.)