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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

${\begin{aligned}\Psi \ \,&=\ {\frac {\delta \mathrm {U} }{\delta z}}\,\ -d\ {\frac {\delta \mathrm {U} }{\delta dz}}+d^{2}{\frac {\delta \mathrm {U} }{\delta d^{2}z}}-\ldots ,\\\Psi '\ &=\,{\frac {\delta \mathrm {U} }{\delta dz}}\ -d{\frac {\delta \mathrm {U} }{\delta d^{2}z}}+\ldots ,\\\Psi ''&={\frac {\delta \mathrm {U} }{\delta d^{2}z}}-\ldots ,\\\ldots &..\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, pour avoir égard ensuite à la variation de $x,$ on ajoutera, dans tous les termes, $-{\frac {dy}{dx}}\delta x$ à $\delta y$ et $-{\frac {dz}{dx}}\delta x$ à $\delta z.$

24. Telle est la méthode générale pour les problèmes de maximis et minimis, relatifs aux formules intégrales indéfinies auxquelles le Calcul des variations a été d’abord destiné ; et l’on voit qu’en faisant même varier toutes les variables, elle ne donne cependant qu’autant d’équations moins une qu’il y a de variables, ce qui est d’ailleurs conforme à la nature de la chose, puisque ce n’est pas la valeur individuelle de chacune des variables qu’on cherche, comme dans les questions ordinaires de maximis et minimis, mais des relations indéfinies entre ces variables, par lesquelles elles deviennent fonctions les unes des autres, et peuvent être représentées par des courbes à simple ou à double courbure.

25. Appliquons maintenant la même méthode aux problèmes de la Mécanique et supposons, pour plus de simplicité, que la formule

$\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots$

soit intégrable et que son intégrale soit $\Pi ,$ comme dans l’article 21 de la Section III ; on aura aussi

$\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots =\delta \Pi ,$

et l’équation générale de l’équilibre (art. 13) deviendra

_S$\left(\delta \Pi d\mathrm {m} +\lambda \delta \mathrm {L} +\mu \delta \mathrm {M} +\ldots \right)=0,$