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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION IV.

variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$ on n’aura que les deux équations

$\Upsilon =0,\quad \Psi =0,$

dont l’une servira à éliminer l’indéterminée $\lambda ,$ de sorte qu’il ne restera, pour la solution du problème, qu’une seule équation en $x,\,y,\,z,$ qu’il faudra combiner avec l’équation donnée $\mathrm {L} =0.$

23. Comme, en supposant $dx$ constant, on a

$y'={\frac {dy}{dx}},\quad y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\quad \ldots ,\quad z'={\frac {dz}{dx}},\quad z''={\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},\quad \ldots ,$

on voit qu’il suffit de faire varier dans les fonctions $\mathrm {U,\,L} ,\ldots$ les variables $y,\,z,\ldots ,$ avec leurs différentielles on aura ainsi, en employant avec la caractéristique $\delta$ la notation des différences partielles,

${\begin{aligned}\delta \mathrm {U} &={\frac {\delta \mathrm {U} }{\delta y}}\delta y+{\frac {\delta \mathrm {U} }{\delta dy}}d\delta y+{\frac {\delta \mathrm {U} }{\delta d^{2}y}}d^{2}\delta y+\ldots \\&+{\frac {\delta \mathrm {U} }{\delta z}}\delta z+{\frac {\delta \mathrm {U} }{\delta dz}}d\delta z+{\frac {\delta \mathrm {U} }{\delta d^{2}z}}d^{2}\delta z+\ldots ,\end{aligned}}$

et, si l’on veut avoir égard en même temps à la variation de $x,$ il n’y aura qu’à ajouter à l’expression de $\delta \mathrm {U}$ le terme ${\frac {d\mathrm {U} }{dx}}\delta x$ et changer $\delta y$ en $\delta y-{\frac {dy}{dx}}\delta x,$ $\delta z$ en $\delta z-{\frac {dz}{dx}}\delta x,\ldots .$

De cette manière, on aura d’abord, après les réductions,

${\begin{aligned}\delta \int \mathrm {U} dx=&\int (\Upsilon \delta y+\Psi \delta z+\ldots )dx\\&+\Upsilon '\delta y+\Upsilon ''d\delta y+\ldots +\Psi '\delta z+\Psi ''d\delta z+\ldots ,\end{aligned}}$

en faisant

${\begin{aligned}\Upsilon \ \,=&{\frac {\delta \mathrm {U} }{\delta y}}-d{\frac {\delta \mathrm {U} }{\delta dy}}+d^{2}{\frac {\delta \mathrm {U} }{\delta d^{2}y}}-\ldots ,\\\Upsilon '\ =&{\frac {\delta \mathrm {U} }{\delta dy}}-d{\frac {\delta \mathrm {U} }{\delta d^{2}y}}+\ldots ,\\\Upsilon ''=&{\frac {\delta \mathrm {U} }{\delta d^{2}y}}-\ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}$