Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/114

96

MÉCANIQUE ANALYTIQUE

condition entre ces mêmes variables, auxquelles on pourra toujours satisfaire par la méthode des multiplicateurs.

Supposons, par exemple, que $\mathrm {U}$ soit une fonction de $x,\,y,\,z$ et de leurs différentielles, et qu’en même temps la variable $z$ dépende de l’équation de condition $\mathrm {L} =0.$ Cette équation étant différentiée par $\delta$ donnera $\delta \mathrm {L} =0\,;$ il n’y aura donc qu’à multiplier celle-ci par un coefficient indéterminé $\lambda ,$ ou par $\lambda dx,$ pour l’homogénéité, lorsque $\mathrm {L}$ est une fonction finie, ajouter l’équations $\int \lambda \delta \mathrm {L} dx=0$ à l’équation du maximum ou minimum $\delta \int \mathrm {U} dx=0,$ et considérer ensuite les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ comme indépendantes. Or on a, en regardant $\mathrm {L}$ comme fonction de $x,\,y,\,y',\,y'',\ldots ,$ $z,\,z',\,z'',\ldots ,$

$\delta \mathrm {L} ={\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial x}}\delta x+{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y}}\delta y+{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z}}\delta z+{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y'}}\delta y'+{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z'}}\delta z'+\ldots .$

Donc, si l’on fait les mêmes substitutions que ci-dessus pour $\delta y',\,\delta z',\,\delta y'',\ldots ,$ on aura aussi

$\delta \mathrm {L} ={\frac {d\mathrm {L} }{dx}}\delta x+{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y}}\delta u+{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z}}\delta v+{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y'}}{\frac {d\,\delta u}{dx}}+{\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z'}}{\frac {d\,\delta v}{dx}}+\ldots ,$

et les termes sous le signe provenant de l’équation

$\int (\delta \mathrm {U} dx+\lambda \,\delta \mathrm {L} dx)=0$

seront de la forme

$(\Xi \delta x+\Upsilon \delta u+\Psi \delta v)dx,$

dans lesquels on aura

${\begin{aligned}\Xi =&\lambda d\mathrm {L} ,\\\Upsilon =&\left[{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}+\lambda {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y'}}+\lambda {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y'}}\right)+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left({\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y''}}+\lambda {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y''}}\right)-\ldots \right]dx,\\\Psi =&\left[{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z}}+\lambda {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z'}}+\lambda {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z'}}\right)+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left({\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z''}}+\lambda {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z''}}\right)-\ldots \right]dx.\end{aligned}}$

Or, $\mathrm {L} =0$ étant l’équation de condition, on aura aussi $d\mathrm {L} =0,$ ce qui donnera $\Xi =0.$ Ainsi, en égalant à zéro les coefficients des trois