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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION IV.

ne restera sous le signe que des termes de la forme

$(\Xi \delta x+\Upsilon \delta u+\Psi \delta v)dx,$

dans lesquels

${\begin{aligned}\Xi =&d\mathrm {U} -d\mathrm {U} =0,\\\Upsilon =&{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y'}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y''}}-\ldots ,\\\Psi =&{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z'}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z''}}-\ldots .\end{aligned}}$

Ces termes doivent être nuls, quelles que soient les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z\,;$ or, en remettant pour $\delta u$ et $\delta v$ leurs valeurs $\delta y-y'\delta x,\delta z-z'\delta x,$ les termes dont il s’agit deviennent, à cause de $\Xi =0,$

$\left[\Upsilon \delta y+\Psi \delta z-(\Upsilon y'+\Psi z')\delta x\right]dx,$

d’où l’on ne tire que les deux équations

$\Upsilon =0,\quad \Psi =0,$

la troisième, dépendante de $\delta x,$ étant contenue dans ces deux-ci.

On voit par là qu’on peut se dispenser d’attribuer aussi une variation à la variable $x,$ dont l’élément est supposé constant dans la fonction $\mathrm {U} ,$ puisque les équations nécessaires à la solution du problème résultent uniquement des variations des autres variables. C’est une remarque qui a été faite dès la naissance du Calcul des variations et qui est une suite nécessaire de ce Calcul.

Cependant il peut être utile de considérer toutes les variations à la fois, par rapport aux limites de l’intégrale, parce qu’il peut résulter de chacune d’elles des conditions particulières dans les points qui répondent à ces limites, comme nous l’avons fait voir dans la dernière Leçon sur le Calcul des fonctions.

22. La fonction intégrale dont on demande le maximum ou le minimum peut contenir aussi d’autres intégrales ; mais, quelle qu’elle soit, on peut toujours la réduire à ne contenir que des variables finies avec leurs différentielles et à dépendre d’une ou de plusieurs équations de