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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

on aura

${\begin{aligned}\delta \mathrm {U} =&\left({\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}y'+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y'}}y''+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y''}}y'''+\ldots \right)\delta x\\&+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}\delta u+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y'}}{\frac {d\delta u}{dx}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y''}}{\frac {d^{2}\delta u}{dx^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}$

Mais, en différentiant par $d$ la fonction $\mathrm {U}$ et substituant $y'dx$ pour $dy,$ $y''dx$ pour $dy',$ on a

$d\mathrm {U} =\left({\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}y'+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y'}}y''+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y''}}y'''+\ldots \right)dx,$

d’où l’on tire

${\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}y'+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y'}}y''+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y''}}y'''+\ldots ={\frac {d\mathrm {U} }{dx}}.$

Donc enfin

$\delta \mathrm {U} ={\frac {d\mathrm {U} }{dx}}\delta x+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}\delta u+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y'}}{\frac {d\delta u}{dx}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y''}}{\frac {d^{2}\delta u}{dx^{2}}}+\ldots .$

Si la quantité $\mathrm {U}$ contenait une autre variable $z$ avec ses différentielles ${\frac {dz}{dx}},\,{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},\ldots ,$ en faisant ${\frac {dz}{dx}}=z',\,{\frac {dz'}{dx}}=z'',\ldots$ et opérant de la même manière, on trouverait les termes suivants

${\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z}}\delta v+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z'}}{\frac {d\delta v}{dx}}+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z''}}{\frac {d^{2}\delta v}{dx^{2}}}+\ldots ,$

dans lesquels

$\delta v=\delta z-z'\delta x$

à ajouter à la valeur précédente de $\delta \mathrm {U} ,$ et ainsi de suite.

21. Donc, si l’on a la fonction intégrale $\int \mathrm {U} dx$ à rendre un maximum ou un minimum par les principes du Calcul des variations, on fera

$\delta \int \mathrm {U} dx=\int \delta (\mathrm {U} dx)=\int (\delta \mathrm {U} dx+\mathrm {U} \delta dx)=0.$

Substituant la valeur de $\delta \mathrm {U} ,$ changeant $\delta dx$ en $d\delta x$ et faisant disparaître, par des intégrations par parties, les différences de $\delta x,\,\delta u,\,\delta v,$ il