Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/111

93

PREMIÈRE PARTIE. — SECTION IV.

Nous commencerons par donner une formule générale pour la variation d’une fonction différentielle quelconque à plusieurs variables.

On sait que, dans les fonctions de plusieurs variables et de leurs différentielles des ordres supérieurs au premier, on peut toujours prendre une des différentielles premières pour constante, ce qui simplifie la fonction sans rien ôter à sa généralité ; mais alors, dans les différentiations par $\delta ,$ il faut aussi regarder comme constante la variable dont la différentielle a été supposée constante ; et, si l’on veut attribuer des variations à toutes les variables, il faudra rétablir la variabilité de la différentielle supposée constante.

20. Soit $\mathrm {U}$ une fonction de $x,\,y,$ ${\frac {dy}{dx}},\,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\ldots ,$ où $dx$ est supposé constant si l’on fait, comme dans la Théorie des fonctions,

${\frac {dy}{dx}}=y',\quad {\frac {dy'}{dx}}=y'',\quad {\frac {dy''}{dx}}=y''',\quad \ldots ,$

la quantité $\mathrm {U}$ deviendra fonction de $x,\,y,\,y',\,y'',\ldots ,$ et la variation $\delta \mathrm {U}$ sera, en employant la notation des différentielles partielles, de la forme

$\delta \mathrm {U} ={\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial x}}\delta x+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}\delta y+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y'}}\delta y'+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y''}}\delta y''+\ldots .$

Maintenant, en faisant tout varier, on aura

${\begin{aligned}\delta y'\ \,=&\delta {\frac {dy}{dx}}={\frac {\delta dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}{\frac {\delta dx}{dx}}={\frac {d\delta y}{dx}}-y'{\frac {d\delta x}{dx}}={\frac {d(\delta y-y'\delta x)}{dx}}+y''\delta x,\\\delta y''\ =&{\frac {d(\delta y'-y''\delta x)}{dx}}+y'''\delta x={\frac {d^{2}(\delta y-y'\delta x)}{dx^{2}}}+y'''\delta x,\\\delta y'''=&{\frac {d^{3}(\delta y-y'\delta x)}{dx^{3}}}+y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\delta x,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Substituant ces valeurs et faisant, pour abréger,

$\delta y-y'\delta x=\delta u$

et, par conséquent,

$\delta y=\delta u+y'\delta x,$