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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

réductions suivantes

_S$\Omega d\delta x\ \ =\Omega ''\delta x''-\Omega '\delta x'-$_S$\delta x\,d\Omega ,$

_S$\Omega d^{2}\delta x=\Omega ''d\delta x''-d\Omega ''\delta x''-\Omega 'd\delta x'+d\Omega '\delta x'+$_S$\delta x\,d^{2}\Omega ,$

 

lesquelles serviront à faire disparaître toutes les différentielles des variations qui pourront se trouver sous le signe _S. Ces réductions constituent le second principe fondamental du Calcul des variations.

16. De cette manière donc, l’équation générale de l’équilibre se réduira à la forme suivante

_S$(\Xi \delta x+\Sigma \delta y+\Psi \delta z)+\Lambda =0,$

dans laquelle $\Xi ,\,\Sigma ,\,\Psi$ seront des fonctions de $x,\,y,\,z$ et de leurs différentielles, et $\Lambda$ contiendra les termes affectés des variations $\delta x',\,\delta y',\,\delta z'\,;$ $\delta x'',\,\delta y'',\ldots$ et de leurs différentielles.

Donc, pour que cette équation ait lieu indépendamment des variations des différentes coordonnées, il faudra que l’on ait : 1^o $\Xi ,\,\Sigma ,\,\Psi$ nuls dans toute l’étendue de l’intégrale _S, c’est-à-dire dans chaque point de la masse ; 2^o chaque terme de $\Lambda$ aussi égal à zéro.

Les équations indéfinies

$\Xi =0,\quad \Sigma =0,\quad \Psi =0$

donneront, en général, la relation qui doit se trouver entre les variables $x,\,y,\,z\,;$ mais il faudra pour cela en éliminer les variables indéterminées $\lambda ,\,\mu ,\ldots ,$ lesquelles (art. 13) sont en même nombre que les équations de condition indéterminées

$\mathrm {L} =0,\qquad \mathrm {M} =0,\quad \ldots .$

Or je remarque que ces équations ne sauraient être au delà de trois :