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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION IV.

résultat, quel que soit l’ordre dans lequel se font ces variations. Ainsi $\delta dx$ sera la même chose que $d\delta x,$ et pareillement $\delta d^{2}x$ sera la même chose que $d^{2}\delta x,$ et ainsi de suite. On pourra donc toujours changer à volonté l’ordre des caractéristiques sans altérer la valeur des différences, et pour notre ohjet il sera à propos de transporter la caractéristique $d$ avant la $\delta ,$ afin que l’équation proposée ne contienne que les variations des coordonnées et les différentielles de ces mêmes variations.

Il en est de même des signes d’intégration $\int$ ou _S, par rapport à la caractéristique des variations $\delta .$ Ainsi l’on pourra toujours changer les symboles $\delta \int$ ou $\delta$_S en $\int \delta$ ou _S$\delta .$

C’est en quoi consiste le premier principe fondamental du Calcul de variations.

15. Or les différentielles $d\delta x,\,d\delta y,\,d\delta z,\,d^{2}\delta x,\ldots ,$ qui se trouvent sous le signe _S, peuvent être éliminées par l’opération connue des intégrations par parties ; car, en général,

$\int \Omega d\delta x=\Omega \delta x-\int \delta x\,d\Omega ,\quad \int \Omega d^{2}\delta x=\Omega d\delta x-d\Omega \delta x+\int \delta x\,d^{2}\Omega ,$

et ainsi des autres, où il faut observer que les quantités hors du signe $\int$ se rapportent naturellement aux derniers points des intégrales, mais que, pour rendre ces intégrales complètes, il faut nécessairement en retrancher les valeurs des mêmes quantités hors du signe, lesquelles répondent aux premiers points des intégrales, afin que tout s’évanouisse dans ces points ; ce qui est évident par la théorie des intégrations.

Ainsi, en marquant par un trait les quantités qui se rapportent au commencement des intégrales totales désignées par _S, et par deux traits celles qui se rapportent à la fin de ces intégrales, on aura les