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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

Ainsi il faudra ajouter à l’intégrale

_S$(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots )d\mathrm {m}$

la quantité

$\mathrm {P} '\delta p'+\mathrm {Q} '\delta q'+\mathrm {R} '\delta r'+\ldots +\mathrm {P} ''\delta p''+\mathrm {Q} ''\delta q''+\mathrm {R} ''\delta r''+\ldots ,$

et à l’intégrale

_S$(\lambda \delta \mathrm {L} +\mu \delta \mathrm {M} +\ldots )$

la quantité

$\alpha \delta \mathrm {A} +\beta \delta \mathrm {B} +\gamma \delta \mathrm {C} +\ldots ,$

de sorte que l’équation générale de l’équilibre sera de cette forme :

_S$(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots )d\mathrm {m} +$_S$(\lambda \delta \mathrm {L} +\mu \delta \mathrm {M} +\ldots )$

$+\mathrm {P} '\delta p'+\mathrm {Q} '\delta q'+\mathrm {R} '\delta r'+\ldots +\mathrm {P} ''\delta p''+\mathrm {Q} ''\delta q''+\mathrm {R} ''\delta r''+\ldots$

$+\alpha \delta \mathrm {A} +\beta \delta \mathrm {B} +\gamma \delta \mathrm {C} +\ldots =0.$

14. Comme les fonctions $\mathrm {L,\,M} ,\ldots$ peuvent contenir non seulement les variables finies $x,y,z,$ mais encore leurs différentielles, les variations $\mathrm {\delta L,\,\delta M} ,\ldots$ donneront des termes multipliés par $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$ $\delta dx,\,\delta dy,\ldots ,$ et l’équation précédente, lorsqu’on y aura substitué les valeurs de $\delta p,\,\delta q,\,\delta r,\ldots ,$ $\delta \mathrm {L} ,\,\delta \mathrm {M} ,\ldots$ en $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$ $\delta dx,\,\delta dy,\,\delta dz,\ldots ,$ ainsi que celles de $\delta p',\,\delta p'',\ldots ,$ $\delta q',\,\delta q'',\ldots ,$ $\delta \mathrm {A} ,\,\delta \mathrm {B} ,\ldots$ en $\delta x',\,\delta x'',\ldots$ $\delta y',\,\delta y'',\ldots ,$ $\delta dx',\ldots ,$ déduites des circonstances particulières de chaque problème, aura toujours une forme analogue à celles que le Calcul des variations fournit par la détermination des maxima et minima des formules intégrales indéfinies ; ainsi il n’y aura qu’à y appliquer les règles connues de ce calcul.

On considérera donc que, comme les caractéristiques $d$ et $\delta$ marquent deux espèces de différences entièrement indépendantes entre elles, quand ces caractéristiques se trouvent ensemble, il doit être indifférent dans quel ordre elles soient placées, parce qu’en supposant qu’une quantité varie de deux manières différentes, on a toujours le même.