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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

du système, la formule intégrale

_S$(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots )d\mathrm {m} \,;$

et cette quantité devra être nulle, en général, dans l’état d’équilibre du système.

Comme, par la nature du système, il y a nécessairement des rapports donnés entre les différentes variations $\delta p,\,\delta q,\,\delta r,\ldots$ relatives à chaque point de la masse, il faudra les réduire à un certain nombre de variations indépendantes et indéterminées, et les termes multipliés par ces dernières variations, étant égalés à zéro, donneront les équations particulières de l’équilibre. Mais, ces réductions pouvant être embarrassantes, il conviendra de les éviter par le moyen de la méthode des multiplicateurs que nous venons de donner dans le paragraphe précédent.

13. Pour appliquer cette méthode au cas dont il s’agit ici, nous supposerons que

$\mathrm {L} =0,\quad \mathrm {M} =0,\quad \ldots$

soient les équations de condition qui doivent avoir lieu par la nature du problème, par rapport à chaque point de la masse, et nous les nommerons équations de condition indéterminées.

Les quantités $\mathrm {L,\,M} ,\ldots$ seront ici des fonctions des coordonnées finies $x,\,y,\,z$ qui répondent à chaque point de la masse donnée, et de leurs différentielles d’un ordre quelconque.

Ces équations étant différentiées suivant $\delta ,$ on aura celles-ci :

$\delta \mathrm {L} =0,\quad \delta \mathrm {M} =0,\quad \ldots .$

On multipliera les quantités $\delta \mathrm {L} ,\,\delta \mathrm {M} ,\ldots$ par des quantités indéterminées $\lambda ,\,\mu ,\ldots \,;$ on en prendra l’intégrale totale qui sera, par conséquent, représentée par la formule

_S$\left(\lambda \delta \mathrm {L} +\mu \delta \mathrm {M} +\ldots \right),$