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et de là

$f'(x)=a^{x}la,\quad f''(x)=a^{x}(la)^{2},\quad f'''(x)=a^{x}(la)^{3},\quad \ldots .$

Donc, en général,

$f^{\mu }(x+i)=a^{x+i}(la)^{\mu },$

où l’on voit que la plus petite et la plus grande valeur répondent aussi à $i=0$ et à $i.$ Ainsi on aura, en faisant $x=0,$

${\begin{aligned}1+ila+{\frac {i^{2}}{2}}(la)^{2}+{\frac {i^{3}}{2.3}}(la)^{3}&+\ldots +{\frac {i^{\mu }}{2.3\ldots \mu }}(la)^{\mu },\\1+ila+{\frac {i^{2}}{2}}(la)^{2}+{\frac {i^{3}}{2.3}}(la)^{3}&+\ldots +{\frac {i^{\mu }}{2.3\ldots \mu }}(la)^{\mu }a^{i},\end{aligned}}$

pour les limites de la valeur de $a^{i},$ où l’on pourra prendre dans le dernier terme, au lieu de $a^{i},$ une quantité quelconque plus grande.

Soit, en troisième lieu,

$f(x+i)=l(x+i)\,;$

on aura

$f(x)=lx,\quad f'(x)={\frac {1}{x}},\quad f''(x)=-{\frac {1}{x^{2}}},\quad f'''(x)={\frac {2}{x^{3}}},\quad \ldots \,;$

donc

$f^{\mu }(x+i)=\pm {\frac {2.3\ldots (\mu -1)}{(x+i)^{\mu }}},$

le signe supérieur étant pour le cas de $\mu$ impair, et l’inférieur pour le cas de $\mu$ pair.

Il est clair que, pourvu que $x+i$ ne soit pas égal à zéro, la quantité $f^{\mu }(x+i)$ ne sera jamais infinie, et que sa plus grande valeur et sa plus petite, relativement à $i,$ répondront à $i=0$ et à $i.$

On aura donc, par la formule générale, ces deux limites, pour la valeur de $l(x+i),$

${\begin{aligned}lx+{\frac {i}{x}}-{\frac {i^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {i^{3}}{3x^{3}}}-&\ldots \pm {\frac {i^{\mu }}{\mu x^{\mu }}},\\lx+{\frac {i}{x}}-{\frac {i^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {i^{3}}{3x^{3}}}-&\ldots \pm {\frac {i^{\mu }}{\mu (x+i)^{\mu }}},\end{aligned}}$