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valeur quelconque positive de $z,$ tous les éléments ${\frac {dy}{dz}}dz$ étant positifs, la valeur de $y$ répondant à cette valeur de $z$ sera nécessairement positive.

Cependant, si l’on a, par exemple,

$y={\frac {1}{a-z}}-{\frac {1}{a}},$

$a$ étant une constante quelconque positive, on aura $y=0$ lorsque $z=0,$ et la valeur de ${\frac {dy}{dz}}$ sera, par les règles connues de la différentiation, ${\frac {1}{(a-z)^{2}}}.$ Cette valeur est constamment positive, quelle que soit la valeur de $z\,;$ il faudrait donc que la valeur de $y$ fût toujours positive, ce qui n’est pas ; car, en prenant $z$ plus grand que $a,$ $y$ devient négative. Ainsi les principes du Calcul différentiel sont en défaut dans ce cas.

Suivant le principe que nous venons d’établir, la valeur de $y$ ne sera nécessairement positive qu’autant que la fonction dérivée ${\frac {dy}{dz}}$ ne sera pas infinie dans l’étendue de la valeur de $z.$ Or, ${\frac {dy}{dz}}$ étant égale à ${\frac {1}{(a-z)^{2}}},$ elle devient infinie lorsque $z=a.$ Donc les valeurs de $y$ seront nécessairement positives depuis $z=0$ jusqu’à $z=a\,;$ mais elles pourront ne pas l’être lorsque $z>a,$ quoique les fonctions dérivées ${\frac {1}{(a-z)^{2}}}$ soient toujours positives.

Voici maintenant comment le principe dont il s’agit s’applique à la détermination des limites du développement de $f(x+i).$

Soient d’abord $p$ et $q$ les valeurs de $x+i$ qui rendent la fonction dérivée $f'(x+i)$ la plus petite et la plus grande, en regardant $x$ comme donné, et faisant varier $i$ depuis zéro jusqu’à une valeur quelconque donnée de $i.$ Donc $f'(p)$ sera la plus petite valeur de $f'(x+i),$ et $f'(q)$ en sera la plus grande ; par conséquent, $f'(x+i)-f'(p)$ et $f'(q)-f'(x+i)$ seront toujours des quantités positives.

Regardant ces deux quantités comme des fonctions dérivées, rela-