Or, comme, en prenant aussi petit qu’on voudra, on peut en même temps prendre aussi grand qu’on voudra, on pourra supposer égale à une quantité quelconque positive ou négative, puisque la quantité peut être prise positivement ou négativement.
La quantité deviendra ainsi et pourra représenter une fonction quelconque de qui s’évanouit lorsque la quantité pouvant maintenant être regardée comme une constante arbitraire. De même, la quantité deviendra et représentera la fonction dérivée de la même fonction de puisque est également la fonction dérivée de soit par rapport à soit par rapport à
On peut donc conclure en général que, si a constamment des valeurs finies et de même signe, depuis et que soit la plus grande de ces valeurs, abstraction faite du signe, la fonction primitive dont il s’agit sera renfermée entre et par conséquent elle aura toujours aussi des valeurs finies, et de même signe que la fonction dérivée si est positive, ou de signe différent si est négative.
Dans le Calcul différentiel, la conclusion précédente est une suite immédiate et nécessaire de la manière dont ce Calcul est envisagé, et elle se présente même sans aucune limitation relativement aux valeurs infinies ; mais nous allons voir qu’elle est souvent en défaut à cet égard, ce qui servira à montrer la nécessité d’une analyse plus rigoureuse que celle qui sert de base au Calcul différentiel.
En effet, si est une fonction de sa fonction dérivée, suivant la notation de ce Calcul, sera représentée par et intégrale de est regardée, par les principes mêmes du Calcul, comme la somme de tous les éléments infiniment petits ou par conséquent, si lorsque sera la somme de tous les éléments qui répondent à tous les éléments de D’où l’on est en droit de conclure que, si a toujours des valeurs positives, depuis jusqu’à une
