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soient renfermées respectivement entre les limites

${\begin{aligned}&i\left[f'(x)\pm \mathrm {D} \right],\\&i\left[f'(x+i)\pm \mathrm {D} \right],\\&i\left[f'(x+2i)\pm \mathrm {D} \right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&i\left[f'\left[x+(n-1)i\right]\pm \mathrm {D} \right],\end{aligned}}$

en prenant pour $\mathrm {D}$ la même quantité dans chacune de ces limites, ce qui est permis, pourvu qu’aucune des quantités

$f'(x),\ \ f'(x+i),\ \ f'(x+2i),\ \ f'\left[x+(n-1)i\right]$

ne soit infinie.

Donc, si toutes ces dernières quantités sont de même signe, c’est-à-dire, toutes positives ou toutes négatives, il est facile d’en conclure que la somme des quantités précédentes, laquelle se réduit à

$f(x+ni)-f(x),$

aura pour limite la somme des limites, c’est-à-dire les quantités

$if'(x)+if'(x+i)+if'(x+2i)+\ldots +if'\left[x+(n-1)i\right]\pm ni\mathrm {D} .$

Si donc on prend la quantité arbitraire $\mathrm {D}$ moindre que la somme

$f'(x)+f'(x+i)+f'(x+2i)+\ldots +f'\left[x+(n-1)i\right]$

divisée par $n,$ abstraction faite du signe de cette somme, la quantité $f(x+ni)-f(x)$ sera nécessairement renfermée entre zéro et la somme

$2i{\bigl [}f'(x)+f'(x+i)+f'(x+2i)+\ldots +f'\left[x+(n-1)i\right]{\bigr ]}.$

Donc, si $\mathrm {P}$ est la plus grande valeur positive ou négative des quantités

$f'(x),\ \ f'(x+i),\ \ \ldots ,\ \ f'\left[x+(n-1)i\right],$

la quantité $f(x+ni)-f(x)$ sera, à plus forte raison, renfermée entre zéro et $2ni\mathrm {P} .$