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il en faudra conclure que le développement des fonctions $f(x+i)$ et $\operatorname {F} (x+i)$ contiendra alors des puissances de $i$ fractionnaires ou négatives.

On substituera donc $a+i$ à la place de $x,$ tant dans la fonction du numérateur que dans celle du dénominateur, et l’on résoudra l’une et l’autre en série suivant les puissances ascendantes de $i\,;$ on fera ensuite $i=0,$ après avoir divisé le haut et le bas de la fraction par la plus basse puissance de $i\,;$ ou, ce qui revient au même, on n’aura d’abord égard qu’au premier terme de chacune des deux séries.

Soit, par exemple, la fraction

${\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {a}}+{\sqrt {x-a}}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}},$

dont on demande la valeur, lorsque $x=a.$ On voit d’abord que cette supposition rend le numérateur et le dénominateur nuls. Leurs fonctions dérivées sont

${\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a-x}}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {x}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}},$

qui deviennent l’une et l’autre infinies par la même supposition. On fera donc $x=a+i,$ et la fonction du numérateur deviendra

${\sqrt {a+i}}-{\sqrt {a}}+{\sqrt {i}}={\sqrt {i}}+{\frac {i}{2{\sqrt {a}}}}+\ldots \,;$

la fonction du dénominateur deviendra

${\sqrt {i(2a+i)}}={\sqrt {2ai}}+{\frac {i{\sqrt {i}}}{2{\sqrt {2a}}}}+\ldots ,$

en ordonnant les termes suivant les puissances croissantes de $i.$ En ne prenant que les deux premiers, on aura la fraction

${\frac {\sqrt {i}}{\sqrt {2ai}}}={\frac {1}{\sqrt {2a}}},$

pour la valeur cherchée.

En général, une fonction de $x$ ne peut devenir nulle lorsque $x=a,$