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$f'(x+i),\ldots$ contiendront alors des termes de la forme

$i^{m-1}(\log i)^{n}\quad {\text{et}}\quad i^{m}(\log i)^{n-1},$

de la forme

$i^{m-2}(\log i)^{n},\quad i^{m}(\log i)^{n-1}\quad {\text{et}}\quad i^{m}(\log i)^{n-2},$

et ainsi de suite. Or, lorsque $i=0,$ $\log i$ est infini, et toute, quantité de la forme $i^{m}(\log i)^{n}$ est nulle ou infinie suivant que $m$ est un nombre positif ou négatif, quel que soit $n.$ Donc, puisque dans les termes des fonctions dérivées

$f'(x+i),\quad f''(x+i),\quad \ldots ,$

les exposants des puissances de $i$ qui multiplient les puissances de $\log i$ vont nécessairement en diminuant, il s’ensuit que, dès qu’une de ces fonctions deviendra infinie par la position de $x=a,$ toutes les autres des ordres suivants deviendront infinies aussi.

On peut donc conclure en général que le développement

$f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots$

de la fonction $f(x+i)$ ne peut devenir fautif pour une valeur déterminée de $x,$ qu’autant qu’une des fonctions $f(x),f'(x),f''(x),\ldots$ deviendra infinie en donnant à $x$ cette valeur, et que ce développement ne sera fautif qu’à commencer du terme qui deviendra infini.

Pour trouver alors la vraie forme du développement suivant les puissances ascendantes de $i,$ il faudra faire d’abord dans la fonction $f(x+i),$ $x$ égal à la valeur donnée, et développer ensuite suivant les puissances croissantes de $i$ par les règles connues, en ayant égard aux puissances fractionnaires ou négatives de $i$ qui se trouveraient dans la fonction même.

Pour confirmer par quelques exemples ce que nous venons de démontrer, supposons d’abord que l’on ait

$f(x)=2ax-x^{2}+a{\sqrt {x^{2}-a^{2}}},$

et qu’on demande le développement $f(x+i)$ lorsque $x=a.$