le sinus
il n’y aura qu’à substituer
à la place de
ce qui donnera
![{\displaystyle x'={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb7af29fc8bdbf599b6beaf0f97110eebd1cd33)
Si l’on fait
![{\displaystyle y=\cos x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84fa9800e1097ad21b4aeca3409dcce384705476)
on a
![{\displaystyle y'=-\sin x\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1132557a8a29ed1d423e811c40fe827fecc8562)
donc, on obtiendra de la même manière
![{\displaystyle x'=-{\frac {1}{\sin x}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ebfee3a73a5680b39f9f4f883502bdd585a137)
Ces résultats s’accordent avec ceux qu’on a trouvés dans les endroits cités d’une manière directe, mais plus longue.
Enfin ayant vu, dans la Leçon VI, que
![{\displaystyle y=\operatorname {tang} x\quad {\text{donne}}\quad y'={\frac {1}{\cos ^{2}x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff1d22236285908e31bebb936ed4bfc8cac1e12)
si l’on veut avoir la fonction dérivée de l’arc par la tangente, on aura sur-le-champ
![{\displaystyle x'=\cos ^{2}x={\frac {1}{1+\operatorname {tang} ^{2}x}}={\frac {1}{1+y^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df0afb2219ebd1cbd59ca71824e66f585b6556c2)
En général, puisque
![{\displaystyle y=\operatorname {tang} p\quad {\text{donne}}\quad y'={\frac {p'}{\cos ^{2}p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428bfe5c18b8a23c48e298ed8993875f23fea555)
on aura réciproquement
![{\displaystyle p'=y'\cos ^{2}p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c6b05eb469af9861c4ddf804e9efa3cbf044e4)
étant une fonction quelconque de ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Si maintenant on veut regarder
comme fonction de
et rapporter la fonction dérivée
à la variable
on fera
et l’on aura
![{\displaystyle p'=\cos ^{2}p={\frac {1}{1+y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9838de543dd56d7caf84bf5fb9228e2edcc194a)
comme ci-dessus.
La formule
est très propre pour trouver facilement les fonctions dérivées de
des ordres supérieurs. En effet, on aura d’abord
![{\displaystyle x''=-2x'\sin x\cos x=-x'\sin 2x=-\sin 2x\cos ^{2}x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bdb88ababc561e5b687a6496edd0f26bf96455b)