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on aura

$y=x^{a+b+c+\ldots }=x^{\mathrm {A} },$

en faisant

$\mathrm {A} =a+b+c+\ldots .$

Donc, prenant les fonctions dérivées des ordres $m,\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}y^{(m)}=&\mathrm {A(A-1)(A-2)} \ldots (\mathrm {A} -m+1)x^{\mathrm {A} -m},\\p^{(\lambda )}=&a\,(a\ -1)(a\ -2)\ldots (a\ -\lambda \,+1)x^{a-\lambda },\\q^{(\mu )}=&b\,(b\,\ -1)(b\ \,-2)\ldots (b\ \,-\mu \,+1)x^{b-\mu },\\r^{(\nu )}=&c\,(c\,\ -1)(c\ \,-2)\ldots (c\ \,-\nu \,+1)x^{c-\nu },\\\end{aligned}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .$

Donc, puisque

$\mathrm {A} -m=a-\lambda +b-\mu +c-\nu +\ldots ,$

la quantité

${\frac {\mathrm {A(A-1)(A-2)} \ldots (\mathrm {A} -m+1)}{1.2.3\ldots m}}$

se trouvera composée d’autant de quantités de la forme

${\begin{aligned}&{\frac {a(a-1)(a-2)\ldots (a-\lambda +1)}{1.2.3\ldots \lambda }}\\\times &{\frac {b(b-1)(b-2)\ldots (b-\mu +1)}{1.2.3\ldots \mu }}\\\times &{\frac {c(c-1)(c-2)\ldots (c-\nu +1)}{1.2.3\ldots \nu }}\\\times &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

qu’il y a de manières différentes de satisfaire à l’équation

$m=\lambda +\mu +\nu +\ldots ,$

ce qui indique une analogie singulière entre le développement de la puissance d’un multinôme et celui du produit continue] du même degré.

En effet, ayant développé une puissance comme

$(a+b+c+\ldots )^{m}$