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de $p,$ ses fonctions dérivées seront $f'(p),f''(p),\ldots \,;$ en sorte que, $p$ devenant $p+\omega ,$ $f(p)$ deviendra

$f(p)+\omega f'(p)+{\frac {\omega ^{2}}{2}}f''(p)+\ldots .$

Or, $p$ étant une fonction de $x,$ lorsque $x$ devient $x+i,$ $p$ devient

$p+ip'+{\frac {i^{2}}{2}}p''+\ldots .$

Donc, faisant $\omega =ip'+{\frac {i^{2}}{2}}p''+\ldots ,$ la fonction $f(p)$ deviendra, par la substitution de $x+i$ à la place de $x,$

$f(p)+ip'f'(p)+{\frac {i^{2}}{2}}\left[p'^{2}f''(p)+p''f'(p)\right]+\ldots .$

Ainsi l’on aura d’abord $y'=p'f'(p),$ d’où résulte ce principe : que la fonction dérivée d’une fonction, qui est elle-même une fonction de $x,$ est égale au produit des fonctions dérivées de ces deux fonctions.

Ce principe sert à généraliser les résultats précédents, relativement aux fonctions dérivées des puissances des exponentielles des logarithmes et des sinus et cosinus.

Ainsi :

${\begin{alignedat}{2}{\text{si }}y=&p^{m},\ {\text{on aura}}\ldots \ldots \ldots \ldots &y'=&mp^{m-1}p'\,;\\{\text{si }}y=&a^{p},\ {\text{on aura}}\ldots \ldots \ldots \ldots .&y'=&a^{p}p'la\,;\\{\text{si }}y=&\log p,\ {\text{on aura}}\ldots \ldots \ldots ..&y'=&{\frac {p'}{p}}\,;\\{\text{si }}y=&\sin p,\ {\text{on aura}}\ldots \ldots \ldots ..&y'=&p'\cos p\,;\\{\text{si }}y=&\cos p,\ {\text{on aura}}\ldots \ldots \ldots ..&y'=&-p'\sin p\,;\\{\text{si }}y=&\operatorname {angle\,sin} p,\ {\text{on aura}}\ldots \ldots &y'=&{\frac {p'}{\sqrt {1-p^{2}}}}\,;\\{\text{si }}y=&\operatorname {angle\,cos} p,\ {\text{on aura}}\ldots \ldots \ \ &y'=&-{\frac {p'}{\sqrt {1-p^{2}}}}.\end{alignedat}}$

Supposons ensuite que $y$ soit une fonction de $p$ et $q,$ que nous désignerons par $f(p,q)\,;$ il s’agira de substituer $x+i$ à la place de $x$ dans