Considérons maintenant l’équation aux limites
![{\displaystyle {\overset {.}{\mathrm {U} }}_{1}-{\overset {.}{\mathrm {U} }}_{0}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51314c9033ee7cd8feb148ac97bef5ac3bfe36cd)
supposons, ce_qui est le cas le plus ordinaire, que les deux limites soient indépendantes l’une de l’autre ; on aura séparément
![{\displaystyle \mathrm {{\overset {.}{U}}_{0}=0,\quad {\overset {.}{U}}_{1}} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f166b0548ed7da2902d82075b34ffea8443d00bc)
Or, en faisant dans l’expression de
donnée plus haut les substitutions nécessaires, on a
![{\displaystyle {\overset {.}{\mathrm {U} }}=\left[{\frac {1}{\sqrt {z}}}+2\lambda \varphi (z)\right]{\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\left({\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}\right)+\lambda \left({\overset {.}{z}}-z'{\overset {.}{x}}\right)+{\frac {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {z}}}{\overset {.}{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1af1d982f0e702f43c0a0a05ef4f94e354f6037)
Cette expression, en mettant pour
sa valeur
et réduisant, devient
![{\displaystyle \mathrm {\overset {.}{U}} =\left({\frac {t}{\sqrt {1+y'^{2}}}}-2g\lambda \right){\overset {.}{x}}+{\frac {ty'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}{\overset {.}{y}}+\lambda {\overset {.}{z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5405a729ae9bfa37da1384cee8ca2093b8cf1cef)
où
est mis pour
comme on l’a employé ci-dessus, de sorte qu’en substituant encore à la place de
sa valeur donnée par la première équation, on aura plus simplement
![{\displaystyle \mathrm {\overset {.}{U}} =\left({\frac {1}{y'{\sqrt {a}}}}-2g\lambda \right){\overset {.}{x}}+{\frac {\overset {.}{y}}{\sqrt {a}}}+\lambda {\overset {.}{z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffdf886494c865d2520e302e6617349a9c058cbe)
Cette valeur de
devra donc être nulle aux deux limites.
Pour la première limite, nous avons vu ci-dessus que l’on a en général
donc, prenant les variations, on aura
![{\displaystyle {\overset {.}{z}}_{0}={\overset {.}{x}}_{0}\Delta '(x_{0})+{\overset {.}{y}}_{0}\Delta '(y_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0283c563c3c3b9034e5456d0dfa8bd23fc8bfd53)
de sorte que l’équation
donnera celle-ci :
![{\displaystyle \left[{\frac {1}{y'_{0}{\sqrt {a}}}}-2g\lambda _{0}+\Delta '(x_{0})\lambda _{0}\right]{\overset {.}{x}}_{0}+\left[{\frac {1}{\sqrt {a}}}+\Delta '(y_{0})\lambda _{0}\right]{\overset {.}{y}}_{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f6e45a6b330ce981305b8cdc37cd6a18b14231)
Pour la seconde limite, on aura aussi
équation dans laquelle, la variation
demeurant indéterminée, il faudra la faire évanouir en