d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {1}{2z^{\frac {3}{2}}}}-2\lambda \varphi '(z)={\frac {2\lambda '\varphi (z)-t'}{z'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69884fc256647de9b3dfaf2af85c6be4be6be3e4)
cette valeur étant substituée dans la seconde équation ci-dessus, on aura
![{\displaystyle \lambda '+{\frac {2\lambda '\varphi (z)-t'}{z'}}{\sqrt {1+y'^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e16faf239c2d42b73e98f32f89b8471f290029)
mais la troisième donne
![{\displaystyle z'=2g-2\varphi (z){\sqrt {1+y'^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0ff648762fe524137d81eca26453759dd6abb0)
substituant cette valeur dans la dernière équation après l’avoir multipliée par
elle se réduira à
![{\displaystyle 2g\lambda '-t'{\sqrt {1+y'^{2}}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c8a210bcdbc83cec306abf4b80534ee354b16b)
Or on a
![{\displaystyle t'{\sqrt {1+y'^{2}}}=\left(t{\sqrt {1+y'^{2}}}\right)'-{\frac {ty'y''}{\sqrt {1+y'^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8347df85fff3cc62f19d6c3a3170164d49f1e54)
et la première équation donne
![{\displaystyle {\frac {ty'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d84553074d5aae77ff373954c17591e38a160f2)
donc l’équation qu’on vient de trouver deviendra
![{\displaystyle 2g\lambda '-\left(t{\sqrt {1+y'^{2}}}\right)'+{\frac {y''}{\sqrt {a}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6050283009cf2e89c3b84b34c8f3201e376a50bc)
dont la primitive est
![{\displaystyle 2g\lambda -t{\sqrt {1+y'^{2}}}+{\frac {y'}{\sqrt {a}}}=b\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f677b92640dffede0f601378a39825bf2690d2)
et, si l’on substitue encore ici pour
sa valeur
tirée de la première équation, on aura
![{\displaystyle 2g\lambda ={\frac {1}{y'{\sqrt {a}}}}+b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc31045c17782ac613e24874e60cbb7d16b9aca6)
Ainsi l’on a la valeur de
qu’on substituera dans l’expression de
de la première équation ; et il ne s’agira plus que de combiner cette équation avec la troisième pour en éliminer