et l’équation aux limites
en faisant
![{\displaystyle {\overset {.}{\mathrm {U} }}=\left[{\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}\right)\right]{\overset {.}{y}}+\left[{\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\right)\right]{\overset {.}{z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a158e96ccb2c9a0a90729ce1d43aa37e79519135)
et, si l’on veut tenir compte de la variation de 
on aura
![{\displaystyle {\overset {.}{\mathrm {U} }}=\left[{\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}\right)\right]\left({\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}\right)+\left[{\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\right)\right]\left({\overset {.}{z}}-z'{\overset {.}{x}}\right)+{\frac {\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {z}}}{\overset {.}{x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d87601ae062077b34a90d9b126c3c4582b04872)
Les deux équations générales se réduisent à celles-ci
![{\displaystyle \left({\frac {y'}{{\sqrt {1+y'^{2}}}{\sqrt {z}}}}\right)'+\left[2\lambda \varphi (z){\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\right]'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a24b08fa5f91f3518b0ce0bbf459e4cabdcf3d80)
dont la première a pour primitive
étant une constante arbitraire.
Il faudra substituer dans celle-ci la valeur de 
irée de la seconde ; ensuite il faudra éliminer 
par le moyen de l’équation de condition
et l’équation résultante en 
et 
sera celle de la courbe cherchée.
Comme représente le carré de la vitesse et que l’équation en est du premier ordre, la valeur de 
tirée de l’équation primitive de celle-ci, contiendra une constante arbitraire qui dépendra de la vitesse initiale imprimée au mobile.
On peut donc regarder la valeur de à la première limite, comme une fonction donnée des coordonnées initiales et 
Ainsi, dénotant cette fonction par la caractéristique 
on aura la condition
