on aura
de sorte que l’équation de la ligne la plus courte sur le sphéroïde deviendra
laquelle est du second ordre, mais dont la primitive du premier ordre est
étant une constante quelconque. Cette équation, combinée avec l’équation suffira pour construire la courbe.
Ce problème est traité avec heaucoup de détails dans le quatrième Volume des Ouvrages de Jean Bernoulli.
Le problème de la ligne la plus courte conduit naturellement à celui de la surface de la moindre étendue. Nous avons déjà vu plus haut que l’on a alors
laquelle étant comparée à la formule
donne
et de là résulte l’équation générale
Cette équation, en effectuant les dérivations indiquées, se réduit à