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ficients $\mathrm {A,B,C}$ comme constants ; c’est ce qui résulte de la théorie du contact des courbes exposée dans la Théorie des Fonctions^[1].

On aura donc ainsi les deux équations dérivées, dans lesquelles $x'=1,$

$1+\mathrm {A} y'+\mathrm {B} z'=0,\quad \mathrm {A} y''+\mathrm {B} z''=0.$

La dernière donne $\mathrm {B} =-{\frac {\mathrm {A} y''}{z''}},$ et, cette valeur étant substituée dans la précédente, on aura

$\mathrm {A} ={\frac {z''}{z'y''-y'z''}},\quad \mathrm {B} =-{\frac {y''}{z'y''-y'z''}}.$

Nous remarquerons de plus qu’il suffit que le plan du cercle osculateur soit perpendiculaire au plan tangent la surface, pour que le rayon osculateur soit perpendiculaire à la surface, parce que ce rayon est nécessairement perpendiculaire à la courbe tracée sur la surface.

Or on démontre encore dans l’application de l’Analyse à la Géométrie (voyez les feuilles déjà citées) que la condition pour que deux plans représentés par les équations

$x\operatorname {F} '(x)+y\operatorname {F} '(y)+z\operatorname {F} '(z)+\alpha =0,$

$x+\mathrm {A} y+\mathrm {B} z+\mathrm {C} =0$

se coupent à angles droits, est renfermée simplement dans l’équation

$\operatorname {F} '(x)+\mathrm {A} \operatorname {F} '(y)+\mathrm {B} \operatorname {F} '(z)=0.$

L’équation de la surface

$\operatorname {F} (x,y,z)=0$

donne aussi l’équation dérivée

$\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)+z'\operatorname {F} '(z)=0,$

d’où l’on tire

$\operatorname {F} '(x)=-y'\operatorname {F} '(y)-z'\operatorname {F} '(z).$

Cette valeur, substituée dans l’équation précédente, donnera celle-ci

$(\mathrm {A} -y')\operatorname {F} '(y)+(\mathrm {B} -z')\operatorname {F} '(z)=0,$

1. Œuvres de Lagrange, t. IX.