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courte devra aussi couper à angles droits la ligne qui formera la seconde limite.

On satisfera à ces conditions par le moyen des équations

$y'_{0}(y')_{0}+1=0\quad {\text{et}}\quad y'_{1}(y')_{1}+1=0$

et des constantes arbitraires $b,c,$ ce qui n’a aucune difficulté.

Supposons maintenant, pour donner plus de généralité au problème, qu’on demande la ligne la plus courte, sans la condition qu’elle doive être toute dans le même plan ; en prenant $x,y,z$ pour les trois coordonnées, dont deux $y$ et $z$ sont censées fonction de la troisième $x,$ on aura la fonction ${\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}},$ dont la primitive exprimera la longueur de la ligne cherchée et devra par conséquent être un minimum.

Faisant donc

$\mathrm {V} ={\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}},$

on aura

${\overset {.}{\mathrm {V} }}={\frac {y'{\overset {.}{y}}\,'+z{\overset {.}{z}}\,'}{\mathrm {V} }},$

formule qui, par les principes établis, se transforme en celle-ci

${\overset {.}{\mathrm {V} }}=-\left({\frac {y'}{\mathrm {V} }}\right)'{\overset {.}{y}}-\left({\frac {z'}{\mathrm {V} }}\right)'{\overset {.}{z}}+\left({\frac {y'}{\mathrm {V} }}{\overset {.}{y}}\right)'+\left({\frac {z'}{\mathrm {V} }}{\overset {.}{z}}\right)',$

d’où l’on tire, pour l’équation générale du minimum,

$\left({\frac {y'}{\mathrm {V} }}\right)'{\overset {.}{y}}+\left({\frac {z'}{\mathrm {V} }}\right)'{\overset {.}{z}}=0,$

et ensuite, pour l’équation aux limites,

${\overset {.}{\mathrm {U} }}={\frac {y'{\overset {.}{y}}+z'{\overset {.}{z}}}{\mathrm {V} }}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {{\overset {.}{U}}_{1}-{\overset {.}{U}}_{0}} =0.$

Supposons d’abord que la ligne la plus courte ne soit assujettie à aucune condition dans toute son étendue ; il faudra alors que les variations ${\overset {.}{y}}$ et ${\overset {.}{z}}$ demeurent indéterminées, ce qui donnera les deux équations

$\left({\frac {y'}{\mathrm {V} }}\right)'=0,\quad \left({\frac {z'}{\mathrm {V} }}\right)'=0,$