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des deux côtés ou d’un seul par des lignes perpendiculaires à l’axe des $x,$ les variations ${\overset {.}{y}}_{0},{\overset {.}{y}}_{1},$ seraient toutes les deux, ou une seulement, arbitraires dans l’un et l’autre cas, l’équation aux limites donnerait $a=0,$ et par conséquent $b=0\,;$ ce qui réduit la ligne la plus courte à une droite parallèle à l’axe.

Si la ligne la plus courte devait être terminée de part et d’autre par deux lignes données droites ou courbes, il faudrait alors tenir compte dans l’équation aux limites des variations de $x$ et $y$ à la fois. Il faudra donc mettre dans l’expression de $\mathrm {\overset {.}{U}} ,$ ${\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}$ à la place de ${\overset {.}{y}},$ et y ajouter le terme $\mathrm {V} {\overset {.}{x}}.$ On aura ainsi

${\overset {.}{\mathrm {U} }}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\left({\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}\right)+{\overset {.}{x}}{\sqrt {1+y'^{2}}}$

et, réduisant,

${\overset {.}{\mathrm {U} }}={\frac {y'{\overset {.}{y}}+{\overset {.}{x}}}{\sqrt {1+y'^{2}}}}.$

L’équation aux limites étant $\mathrm {{\overset {.}{U}}_{1}-{\overset {.}{U}}_{0}} =0,$ si l’on suppose que les deux limites soient indépendantes l’une de l’autre, on aura séparément ${\overset {.}{\mathrm {U} }}_{0}=0,$ et ${\overset {.}{\mathrm {U} }}_{1}=0\,;$ et par conséquent

$y'_{0}{\overset {.}{y}}_{0}+{\overset {.}{x}}_{0}=0,\quad y'_{1}{\overset {.}{y}}_{1}+{\overset {.}{x}}_{1}=0.$

Soit maintenant

$\Phi (x,y)=0$

l’équation de la ligne qui-forme la première limite ; elle donnera l’équation variée

${\overset {.}{x}}\Phi '(x)+{\overset {.}{y}}\Phi '(y)=0\,;$

mais elle donne aussi l’équation dérivée

$\Phi '(x)+y'\Phi '(y)=0\,;$

de sorte que la combinaison de ces deux équations produira celle-ci

${\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}=0.$

Il faut remarquer, à l’égard de cette équation, que les variations ${\overset {.}{x}},{\overset {.}{y}}$