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sinus devant être nul lorsque l’angle est nul, il est évident que son expression en série par les puissances de l’angle ne peut contenir aucune puissance négative.

J’observe ensuite que, par les formules générales, en faisant $x$ et $y$ égaux à $i,$ on a

$\sin 2i=2\sin i\cos i=2\sin i{\sqrt {1-\sin ^{2}i}}\,;$

donc, $\sin i$ étant $=\mathrm {A} i^{m}+\mathrm {B} i^{n}+\ldots ,$ on aura

$\sin 2i=2^{m}\mathrm {A} i^{m}+2^{n}\mathrm {B} i^{n}+\ldots .$

D’un autre côté, on a

$\sin ^{2}i=\mathrm {A} ^{2}i^{2m}+2\mathrm {AB} i^{m+n}+\ldots ,$

et

${\sqrt {1-\sin ^{2}i}}=\left(1-\sin ^{2}i\right)^{\frac {1}{2}}=1-{\frac {1}{2}}\mathrm {A} ^{2}i^{2m}-\mathrm {AB} i^{m+n}-\ldots \,;$

donc on aura

$2\sin i{\sqrt {1-\sin ^{2}i}}=2\mathrm {A} i^{m}+2\mathrm {B} i^{n}+\ldots -\mathrm {A} ^{3}i^{3m}-\ldots \,;$

cette série devant être identique avec la suivante,

$2^{m}\mathrm {A} i^{m}+2^{n}\mathrm {B} i^{n}+\ldots ,$

qui exprime la valeur de $\sin 2i,$ la comparaison des premiers termes qui renferment la même puissance $i^{m}$ donnera

$2\mathrm {A} =2^{m}\mathrm {A} \,;$

donc $m=1.$

Ainsi on est assuré que le premier terme de la série de $\sin i$ est $\mathrm {A} i\,;$ par conséquent, les deux premiers termes de la série de $\cos i$ seront $1-{\frac {\mathrm {A} ^{2}i^{2}}{2}}\,;$ faisant ces substitutions dans les expressions ci-dessus de $\sin(x+i)$ et $\cos(x+i),$ et n’ayant égard qu’à la première puissance de $i,$ on aura

${\begin{aligned}\sin(x+i)=&\sin x+i\mathrm {A} \cos x+\ldots ,\\cos(x+i)=&\cos x-i\mathrm {A} \sin x+\ldots \,;\end{aligned}}$