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siste à trouver la fonction $z$ de $x$ et $y,$ qui rendra cette double fonction primitive un maximum ou un minimum.

Pour le rendre plus général, nous supposerons qu’on demande de rendre un maximum ou un minimum la double fonction primitives d’une fonction donnée de $x,y,z,z'^{,},z^{,}\,',z''^{,},z'^{,}\,',z^{,}\,'',\ldots .$

Désignons cette fonction par $\mathrm {V} ,$ de manière que l’on ait

$\mathrm {V} =f\left(x,y,z,z'^{,},z^{,}\,',z''^{,},z'^{,}\,',z^{,}\,'',\ldots \right),$

et soit $\mathrm {U}$ la double fonction primitive de $\mathrm {V} ,$ qui doit devenir un maximum ou un minimum. Il faudra, par les principes établis ci-dessus, que sa variation $\mathrm {\overset {.}{U}}$ soit nulle. Or, $\mathrm {U} '^{,}\,'=\mathrm {V}$ donc, prenant les variations, $\mathrm {\overset {.}{U}} \,'^{,}\,'=\mathrm {\overset {.}{V}} .$ Si l’on dénote de même par des traits placés au bas les fonctions primitives, ainsi qu’on l’a indiqué dans la Leçon XIII, on pourra passer de l’équation précédente à celle-ci qui est inverse, ${\overset {.}{\mathrm {U} }}={\overset {.}{\mathrm {V} }}_{'^{,}\,'},$ par laquelle on voit que le problème consiste à rendre nulle la double fonction primitive de la variation ${\overset {.}{\mathrm {V} }}.$

Or on a, en prenant les variations de $z$ et de ses dérivées,

${\overset {.}{\mathrm {V} }}={\overset {.}{z}}f'(z)+{\overset {.}{z}}\,'^{,}f'\left(z'^{,}\right)+{\overset {.}{z}}^{,}\,'f'\left(z^{,}\,'\right)+{\overset {.}{z}}\,''^{,}f'\left(z''^{,}\right)+{\overset {.}{z}}\,'^{,}\,'f'\left(z'^{,}\,'\right)+{\overset {.}{z}}^{,}\,''f'\left(z^{,}\,''\right)+\ldots ,$

formule que nous représenterons, pour plus de simplicité, par

${\overset {.}{\mathrm {V} }}=\mathrm {L} {\overset {.}{z}}+\mathrm {M} {\overset {.}{z}}\,'^{,}+\mathrm {N} {\overset {.}{z}}^{,}\,'+\mathrm {P} {\overset {.}{z}}\,''^{,}+\mathrm {Q} {\overset {.}{z}}\,'^{,}\,'+\mathrm {R} {\overset {.}{z}}^{,}\,''+\ldots ,$

On fera dans cette formule les transformations employées plus haut, par lesquelles les dérivées de la variation ${\overset {.}{z}}$ ne se trouvent que dans des termes qui sont des dérivées exactes.

Ainsi le terme $\mathrm {M} {\overset {.}{z}}\,'^{,}$ se changera en $\left(\mathrm {M} {\overset {.}{z}}\right)'^{,}-\mathrm {M} '^{,}{\overset {.}{z}},$ le terme $\mathrm {N} {\overset {.}{z}}\,^{,}\,'$ se changera en $\left(\mathrm {N} {\overset {.}{z}}\right)\,^{,}\,'-\mathrm {N} \,^{,}\,'{\overset {.}{z}},$ et ainsi des autres, en conservant la position des virgules qui séparent les traits relatifs aux variables $x$ et $y.$

De cette manière on aura la transformée

${\begin{aligned}{\overset {.}{\mathrm {V} }}&=\mathrm {\left(L-M'^{,}-N^{,}\,'+P''^{,}+Q'\,^{,}\,'+R^{,}\,''+\ldots \right)} {\overset {.}{z}}\\&+\left(\mathrm {M} {\overset {.}{z}}+\mathrm {P} \,{\overset {.}{z}}\,'^{,}\ -\mathrm {P} \,'^{,}\ {\overset {.}{z}}+\mathrm {Q} {\overset {.}{z}}\,^{,}\,'+\ldots \right)'^{,},\\&+\left(\mathrm {N} \ {\overset {.}{z}}+\mathrm {R} {\overset {.}{z}}\,^{,}\,'-\mathrm {R} ^{,}\,'{\overset {.}{z}}-\mathrm {Q} '^{,}{\overset {.}{z}}+\ldots \right)^{,}\,',\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$