Quant à la manière de distinguer les maxima des minima, et même de s’assurer de leur existence, nous avons vu qu’elle dépend des variations du second ordre ; mais nous n’entrerons pas dans un détail qui nous mènerait trop loin ; on peut voir d’ailleurs ce que nous avons dit là-dessus dans la Théorie des fonctions[1]. Nous remarquerons seulement qu’en prenant la variation du second ordre de la fonction il sera inutile d’avoir égard aux variations du second ordre de la variable parce que, les termes affectés de dans l’expression de étant les mêmes que ceux affectés de dans ces termes doivent disparaître par les conditions du maximum ou minimum, quelle que soit la valeur de ou de Ainsi on aura, pour la variation du second ordre, les mêmes formules que dans l’endroit cité, en changeant seulement aussi en et par conséquent les mêmes résultats.
Pour ne rien laisser à désirer sur cette matière, nous dirons encore un mot des maxima et minima qui dépendent des fonctions de plusieurs variables. La première question de ce genre a été résolue par la méthode des variations, dans le second Volume des Mémoires de Turin[2]. Il s’agissait de trouver, parmi toutes les surfaces courbes qui sont terminées par le même périmètre, celle qui est la plus petite possible problème qui est, par rapport aux surfaces, ce que les problèmes dont on vient de traiter sont par rapport aux lignes.
En nommant l’ordonnée perpendiculaire aux deux abscisses et et qui est censée fonction de ces deux-ci, et désignant par des traits séparés par une virgule fonctions dérivées de prises par rapport à et comme on l’a fait dans la Leçon XIX, la grandeur ou la quadrature de la surface est exprimée par la double fonction primitive de la formule
prise d’abord par rapport à une seule des variables et ensuite par rapport à l’autre, en substituant pour la première sa valeur donnée par l’équation du contour de la surface. Ainsi le problème con-
