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Et, pour tenir compte de la variation de $x,$ il n’y aura qu’à changer ${\overset {.}{y}},{\overset {.}{z}},{\overset {.}{t}}$ en ${\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}},\ {\overset {.}{z}}-z'{\overset {.}{x}},\ {\overset {.}{t}}-t'{\overset {.}{x}},$ et ajouter à la valeur de $\left({\overset {.}{\mathrm {U} }}\right)$ le terme $\mathrm {V} {\overset {.}{x}}.$

Comme la nature du problème peut fournir aussi des équations de condition entre les variables $x,y,z,t,\ldots ,$ rapportées à ces limites, désignons par $\mathrm {A} =0,\ \mathrm {B} =0,\ldots$ ces équations de condition, de manière que $\mathrm {A,B} ,\ldots$ soient des fonctions données de $x_{0},x_{1},y_{0},y_{1},y'_{0},y'_{1},\ldots .$

On formera les équations variées ${\overset {.}{\mathrm {A} }}=0,\ {\overset {.}{\mathrm {B} }}=0,\ldots ,$ dues aux variations de chacune des quantités $x_{0},x_{1},y_{0},y_{1},y'_{0},y'_{1},\ldots ,$ on ajoutera ces équations multipliées par les coefficients indéterminés $\alpha ,\beta ,\ldots$ à l’équation aux limites.

On aura ainsi l’équation

$\mathrm {({\overset {.}{U}}_{1})-({\overset {.}{U}}_{0})+\alpha {\overset {.}{A}}+\beta {\overset {.}{B}}} +\ldots =0,$

dans laquelle on égalera séparément à zéro le coefficient de chacune des variations dont il s’agit.

Ces formules servent à répondre à toutes les questions où l’on cherche des maxima ou minima absolus. Voyons aussi comment on y peut rappeler les questions où l’on ne demande que des maxima ou minima relatifs, c’est-à-dire dans lesquelles la fonction primitive d’une fonction donnée ne doit être un maximum ou un minimum entre des limites assignées, qu’autant que les fonctions primitives d’autres fonctions données auront des valeurs données entre les mêmes limites.

Soit $u$ la fonction donnée dont la fonction primitive doit avoir une valeur déterminée entre les limites assignées. Supposons que $s$ soit cette fonction primitive, en sorte que l’on ait l’équation $s'-u=0.$ La condition dont il s’agit consiste en ce que la quantité $s_{1}-s_{0}$ doit avoir une valeur donnée ; par conséquent, sa variation devra être nulle, ce qui donne l’équation aux limites ${\overset {.}{s}}_{1}-{\overset {.}{s}}_{0}=0.$

Pour introduire cette condition dans la solution générale du problème de maximis et minimis, je regarde l’équation $s'-u=0$ comme une équation de condition, et je la traite comme les équations de con-