On aurait ensuite
![{\displaystyle {\overset {.}{\mathrm {U} }}=\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}\right){\overset {.}{y}}+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}\right){\overset {.}{y}}\,'+\ldots +\left[1+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\right)\right]{\overset {.}{z}}+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}\right)z'+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f45a3e7d07d9fc6bc9cae7ff9c6191f28450e41)
L’équation
servira à déterminer la variable
et l’équation
combinée avec l’équation donnée
donnera la valeur de
en
Soit
la plus haute dérivée de
qui entre dans cette équation ; l’équation
sera linéaire et de l’ordre
par rapport à
la valeur de
contiendra donc autant de constantes arbitraires et linéaires aussi, qui serviront à faire évanouir les variations
dans l’équation des limites ; les variations
étant censées données par la nature du problème, comme nous venons de le remarquer.
Il faudra donc déterminer ces constantes de manière que l’on ait
![{\displaystyle 1+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}_{1}\right)=0,\quad \left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}_{1}\right)=0,\quad \left({\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}_{1}\right)=0,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e3a04cce497cd58bb43c54bb901b00f1e248d1)
et l’on remplira ces conditions en faisant simplement
![{\displaystyle \lambda _{1}=0,\quad \lambda '_{1}=0,\quad \ldots ,\quad \lambda _{1}^{(n-1)}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b37a6a5ac6abdb50a8c4348d132bba79a19239da)
et de plus
![{\displaystyle \lambda ^{(n)}\operatorname {F} '\left(z^{(n)}\right)_{1}+1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12f6f821cb93174973502d88cc6ab5e0abace26)
Ceci revient à la solution donnée dans le Tome IV des Mémoires de Turin[1].
En général, soit
une fonction quelconque des variables
, et de leurs dérivées d’un ordre quelconque, à l’exception de
dont la dérivée soit supposée l’unité ; et soient
des équations de condition entre ces variables et leurs dérivées, dont le nombre ne surpasse pas celui des variables diminué de deux unités, afin qu’il reste des relations indéterminées entre les mêmes variables.
Le problème de maximis et minimis, dont il s’agit ici, consiste à déterminer ces relations de manière que la fonction primitive de
devienne un maximum ou un minimum entre des limites données, correspondantes à des valeurs données de
- ↑ Œuvres de Lagrange, t. II, p. 37.