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valeur qu’on substituera dans l’équation aux limites

${\overset {.}{\mathrm {U} }}_{1}-{\overset {.}{\mathrm {U} }}_{0}=0.$

Si l’on veut avoir égard en même temps à la variation de $x,$ on ajoutera à ${\overset {.}{\mathrm {U} }}$ le terme $\mathrm {V} {\overset {.}{x}},$ et l’on changera les quantités ${\overset {.}{y}},{\overset {.}{z}}$ et leurs dérivées en ${\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}},\ {\overset {.}{z}}-z'{\overset {.}{x}},$ et dans les dérivées de celles-ci.

Il faudrait, à la rigueur, dans ce cas, ajouter à la valeur de $\mathrm {\overset {.}{V}}$ le terme $\lambda \left[x\operatorname {F} (x,y,\ldots )\right]',$ d’après les formules trouvées plus haut pour la valeur complète de la variation de $x'\operatorname {F} (x,y,\ldots ).$ Ce terme se transforme en $\left[\lambda x\operatorname {F} (x,y,\ldots )\right]'-\lambda '{\overset {.}{x}}\operatorname {F} (x,y,\ldots )\,;$ mais il disparaît ici en vertu de l’équation $\operatorname {F} (x,y,\ldots )=0.$ Il faudrait néanmoins le conserver si l’équation de condition n’était donnée que par l’équation variée ${\overset {.}{\operatorname {F} }}(x,y,\ldots )=0.$

Dans l’équation aux limites, on pourra regarder aussi les variations ${\overset {.}{x}},{\overset {.}{y}}$ et ${\overset {.}{z}},$ ainsi que leurs dérivées, comme indépendantes, à moins que la nature du problème ne donne aussi des conditions particulières aux limites.

Supposons, par exemple, que l’on ait une ou plusieurs équations de condition entre les quantités $x,y,y',y'',\ldots ,z,z',z'',\ldots ,$ rapportées aux deux limites, c’est-à-dire entre les quantités $x_{0},y_{0},y_{0}',y_{0}'',\ldots ,$ $z_{0},z_{0}',z_{0}'',\ldots ,$ $x_{1},y_{1},y_{1}',y_{1}'',\ldots ,$ $z_{1},z_{1}',z_{1}'',\ldots ,$ et que le maximum ou minimum ne doive avoir lieu que parmi les fonctions qui, prises entre les limites données, satisfont à ces conditions ; il faudra que les mêmes équations subsistent dans l’état varié, c’est-à-dire en y mettant $x+i{\overset {.}{x}},$ $y+i{\overset {.}{y}}+{\frac {i^{2}}{2}}{\overset {..}{y}}+\ldots ,$ $z+i{\overset {.}{z}}+{\frac {i^{2}}{2}}{\overset {..}{z}}+\ldots$ à la place de $x,y,z\,;$ par conséquent on aura aussi les variations de ces équations, comme nous l’avons déjà vu plus haut.

Désignons par

$\Phi (x_{0},y_{0},y_{0}',\ldots ,z_{0},z_{0}',\ldots ,x_{1},y_{1},y_{1}',\ldots ,z_{1},z_{1}',\ldots )=0$

une de ces équations de condition ; elle donnera l’équation variée

${\begin{aligned}&x_{0}\Phi '(x_{0})+{\overset {.}{y}}_{0}\Phi '(y_{0})+{\overset {.}{z}}_{0}\Phi '(z_{0})+{\overset {.}{y}}_{0}'\Phi '(y_{0}')+\ldots \\+&{\overset {.}{x}}_{1}\Phi '(x_{1})+{\overset {.}{y}}_{1}\Phi '(y_{1})+{\overset {.}{z}}_{1}\Phi '(z_{1})+{\overset {.}{y}}_{1}'\Phi '(y_{1}')+\ldots =0.\end{aligned}}$