devra avoir lieu aussi en y mettant
au lieu de
et
au lieu de
et
quelle que soit la quantité
D’où et de ce qui a été démontré dans les premières Leçons, il est facile de conclure que les dérivées de cette équation, relatives aux variations de
devront avoir lieu aussi. De sorte que l’équation de condition
donnera les équations variées
![{\displaystyle \operatorname {\overset {.}{F}} (x,y,z)=0,\quad \operatorname {\overset {..}{F}} (x,y,z)=0,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0dc38e78bcf16cab79d5def50595c330d21f2e5)
Or, en regardant
comme invariable, on a
![{\displaystyle \operatorname {\overset {.}{F}} (x,y,z)={\overset {.}{y}}\operatorname {F} '(y)+{\overset {.}{z}}\operatorname {F} '(z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85afcfd8a0f2ac8151aa385997e278dfac413fa2)
puisque l’algorithme des variations est le même que celui des dérivées.
Ainsi on aura l’équation
![{\displaystyle {\overset {.}{y}}\operatorname {F} '(y)+{\overset {.}{z}}\operatorname {F} '(z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef81a27ef239e3d897be4d4041f797d2962118ae)
d’où l’on tire le rapport de
à
lequel, étant ensuite substitué dans l’équation
du maximum ou minimum, donnera celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {Y} \operatorname {F} '(z)-\mathrm {Z} \operatorname {F} '(y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12a54a433de119e9dc68d7bd51654d8f40c8607)
qui, étant combinée avec l’équation de condition
servira à déterminer les valeurs de
et
en ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Nous avons supposé dans le calcul précédent que
ne variait pas. Si l’on voulait tenir compte des variations de
on aurait, à la place de l’équation
celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {Y} \left({\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}}\right)+\mathrm {Z} \left({\overset {.}{z}}-z'{\overset {.}{x}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea8469c12dfc2cdfa96040959d848c16908cb81)
Or l’équation de condition
donnerait d’un côté l’équation dérivée
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)+z'\operatorname {F} '(z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b46be14a1d1aaa712ee18148a3f45d6109e426d)
et de l’autre l’équation variée
![{\displaystyle x\operatorname {F} '(x)+{\overset {.}{y}}\operatorname {F} '(y)+z\operatorname {F} '(z)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/210a1a33b1105db8bfe3a72c0db9e50e43d56990)