Les termes
qui ne sauraient être des fonctions dérivées exactes, tant que
et
ont des valeurs arbitraires, doivent être détruits, ce qui donnera d’abord l’équation générale
![{\displaystyle \mathrm {Y} {\overset {.}{y}}+\mathrm {Z} {\overset {.}{z}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e44e03618b99de7c52aacd12f8805a516516287)
à laquelle on satisfera de différentes manières, suivant que les variables
et
seront indépendantes l’une de l’autre, ou qu’elles seront liées entre elles par des relations données.
On aura ensuite, en prenant les fonctions primitives, à cause de
l’équation
![{\displaystyle {\overset {.}{\mathrm {U} }}={\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}+{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,'+{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,''+\ldots +{\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}+{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\,'+{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\,''+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6147c1ac1e07039c6455ce54fe49a771ab9998)
c’est la valeur qu’il faudra substituer dans l’équation aux limites
![{\displaystyle \mathrm {{\overset {.}{U}}_{1}-{\overset {.}{U}}_{0}} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ca3ef6a8ef7445756fe840f4bdfb75d9d0056b)
Si l’on veut que
varie aussi, on changera
et
en
et l’on ajoutera à
le terme
Reprenons l’équation
S’il n’y a aucune relation donnée par les conditions du problème entre
et
leurs variations seront indépendantes l’une de l’autre, et l’on ne pourra vérifier l’équation dont il s’agit qu’en faisant séparément
![{\displaystyle \mathrm {Y} =0,\quad \mathrm {Z} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fafd697a424e7c606347d10e5c5ea0f23a93decf)
deux équations qui serviront à déterminer
et
en fonctions de ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Mais, si les variables
et
étaient liées par une équation de condition entre
que nous représenterons par
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501234595663d816811185ca701010a2b5cadcfd)
il faudrait tirer de cette équation la valeur de
en
et
et la substituer dans l’expression de
mais, pour faire usage de l’équation
il suffit d’avoir le rapport entre les variations
et
et pour cela, il n’y a qu’à considérer que, la relation entre les quantités
devant subsister aussi dans l’état varié, l’équation