limites
dans laquelle il faudra ajouter à la valeur de
le terme
et y changer
en
On peut parvenir au même résultat d’une manière moins simple, mais plus directe, en considérant immédiatement les variations de
et de ses dérivées.
Pour cela, il faut d’abord dépouiller la fonction
de la supposition de
pour pouvoir tenir compte des variations de
ce qui se fait en substituant, comme on l’a vu dans les Leçons précédentes,
au lieu de
au lieu de
et ainsi de suite, en multipliant la fonction
par
pour qu’elle puisse être la fonction dérivée de
Soit, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {y'}{x'}}=p,\quad {\frac {p'}{x'}}=q,\quad {\frac {q'}{x'}}=r,\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a3f8ef8b0979cead6d7efbe21ddc6721653c99)
il faudra dans
substituer
à la place de
moyennant quoi cette quantité deviendra fonction de
et l’on aura la dérivée
![{\displaystyle \mathrm {V} '=\mathrm {M} x'+\mathrm {N} y'+\mathrm {P} p'+\mathrm {Q} q'+\mathrm {R} r'+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a72014ebb6055b5fbf523e413b340b8ea041ee2)
qui se réduit à
![{\displaystyle \mathrm {V} '=(\mathrm {M} +\mathrm {N} p+\mathrm {P} q+\mathrm {Q} r+\mathrm {R} s+\ldots )x',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/982f14698920308239fccb360969de944dc875da)
et la variation
![{\displaystyle {\overset {.}{\mathrm {V} }}=\mathrm {M} {\overset {.}{x}}+\mathrm {N} {\overset {.}{y}}+\mathrm {P} {\overset {.}{p}}+\mathrm {Q} {\overset {.}{q}}+\mathrm {R} {\overset {.}{r}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4111803c68b678b0ee10b0ec9ebb86c41e2b11b)
Ainsi tout consiste à trouver les valeurs des variations
Or,
étant
on aura
![{\displaystyle {\overset {.}{p}}={\frac {{\overset {.}{y}}\,'}{x'}}-{\frac {y'{\overset {.}{x}}\,'}{x'^{2}}}={\frac {{\overset {.}{y}}\,'-p{\overset {.}{x}}\,'}{x'}}={\frac {\left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)'+p'{\overset {.}{x}}}{x'}}={\frac {\left({\overset {.}{y}}-p{\overset {.}{x}}\right)'}{x'}}+q{\overset {.}{x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/357dc426b84a67ebee0737fdd93df149014ed425)
à cause de ![{\displaystyle {\frac {p'}{x'}}=q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04637c4e4ae1f0eb3710d772c2780e78747e373e)