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et qu’on emploie relativement aux dérivées de ${\overset {.}{y}}$ les transformations qu’on a enseignées au commencementde la Leçon précédente, relativement aux dérivées de $\omega$ dans l’expression de ${\overset {1}{\mathrm {V} }},$ et dont l’objet est de réduire à des fonctions dérivées exactes tous les termes qui contiennent des dérivées de ${\overset {.}{y}},$ on aura cette transformée

${\begin{aligned}{\overset {.}{\mathrm {V} }}&=\mathrm {\left(N-P'+Q''-R'''+\ldots \right)} {\overset {.}{y}}\\&+\left(\mathrm {P} {\overset {.}{y}}\right)'-\left(\mathrm {Q} '{\overset {.}{y}}\right)'+\left(\mathrm {R} ''{\overset {.}{y}}\right)'-\ldots \\&+\left(\mathrm {Q} {\overset {.}{y}}\,'\right)'-\left(\mathrm {R} '{\overset {.}{y}}\,'\right)'+\ldots \\&+\left(\mathrm {R} {\overset {.}{y}}\,''\right)'-\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

où l’on voit que tous les termes, à l’exception de ceux qui forment la première ligne, sont des fonctions dérivées exactes, de sorte que leurs fonctions primitives sont connues et déterminées, quelle que soit la quantité ${\overset {.}{y}}\,;$ au contraire, les termes de la première ligne étant tous multipliés par ${\overset {.}{y}}$ ne peuvent avoir de fonction primitive, à moins qu’on ne donne à la variation ${\overset {.}{y}}$ des valeurs particulières. Donc, comme cette variation doit demeurer indéterminée, il sera impossible que la fonction primitive de ${\overset {.}{\mathrm {V} }}$ devienne nulle, à moins que la première ligne de l’expression de ${\overset {.}{\mathrm {V} }}$ ne disparaisse, ce qui donnera l’équation indépendante de ${\overset {.}{y}},$

$\mathrm {N-P'+Q''-R'''} +\ldots =0.$

C’est l’équation qui contient la relation nécessaire entre les variables $x$ et $y$ pour l’existence du maximum ou minimum, et que nous appellerons équation générale du maximum ou minimum. En Géométrie, c’est l’équation de la courbe qui jouit de la propriété de maximum ou minimum. Il est facile de voir que cette équation sera en général de l’ordre $2n,$ si la fonction proposée $\mathrm {V}$ est de l’ordre $n,$ c’est-à-dire si elle contient la dérivée $y^{(n)}\,;$ de sorte que son équation primitive en $x$ et $y$ contiendra $2n$ constantes arbitraires.

La première ligne de la valeur de ${\overset {.}{\mathrm {V} }}$ ayant disparu, on aura, en pre-