pose contenue dans la fonction
Ainsi la difficulté consiste à déduire ces dérivées de la fonction donnée
Or,
étant
lorsque
devient
deviendra
![{\displaystyle y+i{\overset {.}{y}}+{\frac {i^{2}}{2}}{\overset {..}{y}}+{\frac {i^{3}}{2.3}}{\overset {\therefore }{y}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a2e4b4ec79ec9addc5508e66f86a0a76e4449e8)
en dénotant, comme plus haut, par des points les fonctions dérivées par rapport à
dans lesquelles on fait ensuite
de sorte que ces fonctions deviennent de simples fonctions de
qui peuvent même avoir une valeur quelconque, parce que la composition de la fonction
est supposée arbitraire par rapport à ![{\displaystyle i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffcf9ad7ad44f04fa43c5b604b4801e089981cb)
Ainsi, en prenant les fonctions dérivées par rapport à
il est clair que
deviendra pareillement
![{\displaystyle y'+i{\overset {.}{y}}\,'+{\frac {i^{2}}{2}}{\overset {..}{y}}\,'+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60d1b80859d72ec4a4a660dac657d050d8f9500)
et
deviendra de même
![{\displaystyle y''+i{\overset {.}{y}}\,''+{\frac {i^{2}}{2}}{\overset {..}{y}}\,''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf7868132cfedff5150ccdcbf228732b07aa7fe)
et ainsi de suite.
Faisant ces substitutions à la place des quantités
dans la fonction donnée
et développant ensuite les puissances de
cette fonction deviendra
![{\displaystyle \mathrm {V} +i{\overset {.}{\mathrm {V} }}+{\frac {i^{2}}{2}}{\overset {..}{\mathrm {V} }}+{\frac {i^{3}}{2.3}}{\overset {\therefore }{\mathrm {V} }}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b27642f8efeb75b43c41e9cedc24ded7c2a8e7d6)
et, par la théorie des fonctions dérivées exposée dans les premières Leçons, il est facile de conclure que la quantité
qui, étant multipliée par
forme le premier terme du développement, sera la fonction dérivée de
en supposant
constant et
des variables indépendantes, dont les fonctions dérivées soient respectivement
De même
sera sa fonction dérivée du second ordre, prise relativement aux mêmes variables, et en supposant que
soient les fonctions secondes de
et ainsi de suite.
Nous appellerons en général variations du premier ordre, du second, etc., ces dérivées marquées par des points et relatives à la quan-