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ordinaires, mais relatives à une autre caractéristique $\delta ,$ différente de la caractéristique ordinaire $d,$ et à déterminer la valeur différentielle de la formule par rapport à cette nouvelle caractéristique, en transposant le signe $\delta$ après les signes $d$ et $\int ,$ lorsqu’il se trouve placé avant, et en faisant ensuite disparaître par des intégrations par parties les différentielles de $\delta y$ sous les signes $\int .$

Soit la formule $\int \mathrm {Z}$ qui doive être un maximum ou un minimum entre des limites données, la quantité $\mathrm {Z}$ étant une fonction donnée de $x,y,$ $dy,d^{2}y,\ldots .$ En supposant $dx$ constant, on aura $\delta \int \mathrm {Z}$ pour la valeur différentielle qui doit être nulle dans le maximum ou minimum ; donc

$\delta \int \mathrm {Z} =0,$

équation qui se transforme tout de suite en

$\int \delta \mathrm {Z} =0.$

Supposons qu’en différentiant à la manière ordinaire, mais suivant la caractéristique $\delta ,$ et ne faisant varier que les $y,dy,\ldots ,$ on ait

$\delta \mathrm {Z} =\mathrm {N} \delta y+\mathrm {P} \delta dy+\mathrm {Q} \delta d^{2}y+\ldots \,;$

on aura l’équation

$\int \mathrm {N} \delta y+\int \mathrm {P} \delta dy+\int \mathrm {Q} \delta d^{2}y+\ldots =0.$

Or $\int \mathrm {P} \delta dy$ se transforme d’abord en $\int \mathrm {P} d\delta y,$ et ensuite, en intégrant par parties, en $\mathrm {P} \delta y-\int d\mathrm {P} \delta y.$

De même $\int \mathrm {Q} \delta d^{2}y$ se transforme d’abord en $\int \mathrm {Q} d^{2}\delta y,$ ensuite en $\mathrm {Q} d\delta y-d\mathrm {Q} \delta y+\int d^{2}\mathrm {Q} \delta y,$ et ainsi des autres.

Donc, en ajoutant une constante quelconque $\mathrm {K}$ à ces intégrations, l’équation deviendra

$\mathrm {P} \delta y+\mathrm {Q} d\delta y-d\mathrm {Q} \delta y+\ldots +\mathrm {K} +\int \left(\mathrm {N} -d\mathrm {P} +d^{2}\mathrm {Q} -\ldots \right)\delta y=0.$

Comme toutes les différentielles de $\delta y$ ont disparu de dessous le signe $\int ,$ cette partie n’est plus susceptible d’aucune réduction. Ainsi, pour vérifier l’équation indépendamment des variations $\delta y,$ il faudra