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être un maximum ou un minimum parmi toutes les courbes isopérimètres, n’est pas de la forme

$\mathrm {P} .\nu +{\overset {\,_{'}}{\mathrm {P} }}.\omega ,$

lorsque la fonction $\mathrm {Z}$ contient l’arc $s$ de la courbe, ce qui est contraire à la théorie d’Euler, qu’on vient d’exposer.

Par exemple, dans la solution de Taylor, qui est une des plus simples, si l’on y substitue les dénominations précédentes, qu’on suppose

$d\mathrm {Z} =\mathrm {L} ds+\mathrm {M} dx+\mathrm {N} dy,$

et qu’on fasse, pour abréger, ${\frac {dy}{ds}}=q,$ on a cette valeur différentielle

$(\mathrm {N} +\mathrm {L} q)dx.\nu +\left({\overset {\,_{'}}{\mathrm {N} }}+{\overset {\,_{'}}{\mathrm {L} }}{\overset {\,_{''}}{q}}\right)dx.\omega ,$

provenant des variations $\nu$ et $\omega$ des ordonnées $y$ et ${\overset {\,_{'}}{y}}$ dans les trois éléments $\mathrm {Z} dx+{\overset {\,_{'}}{\mathrm {Z} }}dx+{\overset {\,_{''}}{\mathrm {Z} }}dx,$ qui sont les seuls que Taylor considère.

Mais je remarque que cette valeur n’est pas la valeur différentielle complète de la formule intégrale $\int \mathrm {Z} dx\,;$ car, par les formules exactes de l’ouvrage cité d’Euler, la seule variation $\nu$ de l’ordonnée $y,$ dans la formule $\int \mathrm {Z} dx,$ donne la valeur différentielle

$\left[\mathrm {N} -dx-d.\left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} dx\right)q\right]\nu ,$

où $\mathrm {H}$ est la valeur de $\int \mathrm {L} dx,$ correspondante à une abscisse donnée $a,$ pour laquelle $\int \mathrm {Z} dx$ doit être un maximum ou un minimum. De sorte que, pour les deux variations simultanées $\nu$ et $\omega ,$ la vraie valeur différentielle sera

$\left[\mathrm {N} dx-d.\left(\mathrm {H} -\int \mathrm {L} dx\right)q\right]\nu +\left[{\overset {\,_{'}}{\mathrm {N} }}dx-d.\left(\mathrm {H} -\int {\overset {\,_{'}}{\mathrm {L} }}dx\right){\overset {\,_{'}}{q}}\right]\omega .$

On voit d’abord par-là que la valeur différentielle de Taylor donnerait une solution fausse, si on voulait l’employer à trouver la courbe dans laquelle $\int \mathrm {Z} dx$ serait un maximum ou un minimum entre toutes les courbes possibles, dans lequel cas il suffit d’avoir égard à la variation d’une seule ordonnée ; car, en égalant à zéro cette valeur différen-